2.1多边形的概念及内角和教学设计(第一课时)

本节内容2.1

情景引入在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？

中国第一奇村诸葛八卦村美国国防部大楼——五角大楼

问题1 什么是三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.问题2观察画某图形的过程，类比三角形的概念，你能说出是什么图形吗？在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.

问题3根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．内角：多边形相邻两边组成的角n边形有n个顶点，顶点n条边，n个内角，2n个外角．边外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.

典例精析例1六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.总结一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.

定义：多边形中连接不相邻两个顶B点的线段，叫做多边形的对角线.CAED注意线段AC是五边形ABCDE的一条对角线.

定义：在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形.正三角形正方形正五边形正六边形

想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（四条边都相等）（四个角都相等）答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.注意判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.

探究：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：……三角形多边形从同一顶点引出的对角线的条数分割出的三角形的个数四边形三角形五边形六边形八边形n边形四边形五边形六边形八边形0112233456n-3n-2

归纳总结从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.n(n≥3)边形共有对角线n(n3)2条.

画一画：画出下列多边形的全部对角线.

问题1三角形内角和是多少度？三角形内角和是180°.问题2你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？都是360°.问题3猜想任意四边形的内角和是多少度？

猜想与证明猜想：四边形ABCD的内角和是360°.问题4你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？方法1：如图，连接AC,所以四边形ABCD内角和为AD所以四边形被分为两个三角形，180°×2=360°.BC

方法2：如图，在BC边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.ADBEC

方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.AEBC

D

方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180°×3－180°= 360°.APBD这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已学的三角形内角和求解.C结论：四边形的内角和为360°.

例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.A解：如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C=180°.DBC因为∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °，所以∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）= 360°－180°=180°.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.

问题5你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗? AEAFBCDBECD内角和为180°×3 = 540°.内角和为180°×4 = 720°.

由特殊到一般边数三角形四边形五边形图形从多边形的一顶点分割出三角多边形内角和引出的对角线条数形的个数011×180º=180º123······n -3 234···n -2 2×180º=360º3×180º=540º4×180º=720º······（n -2 ）·180º

六边形···n 边形

总结归纳分割多边形三角形转化思想分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)×180 °.

练一练完成下面的表格：正多边形边数34568n内角60 °90 °108 °120 °135 °(n2)180n

例3一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则（n-2）•180=360+720，解得n=8，∵这个多边形的每个内角都相等，（8-2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．

练习1.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？答：150°.（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？答：十二边形.

练习2.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形.

课堂小结谈谈你这节课的收获：（1）这节课我们主要学习了多边形以及多边形的内角和公式。（2）从多边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。