1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学内容分析

知识梳理

一、直角三角形的性质

1．直角三角形的两锐角________．

2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．

3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．

4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

二、直角三角形的判定

1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．

2．有两角________的三角形是直角三角形．

3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．

4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．

自主测试

1．(2012广东广州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，

BC＝12，则点C到AB的距离是(

) 3612933A．

B．

C．

D．52544

2．(2012四川巴中)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为__________．

3. (2012重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)

考点一、直角三角形的判定

【例1】

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为边BC上的任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论．

分析：连接AM，可得AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到FM＝ME，∠EMF＝90°. 解：△MEF是等腰直角三角形．

连接AM，∵∠BAC＝90°，AM是斜边BC的中线，

∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. ∵DF⊥AB，DE⊥AC，

∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°，

∴四边形DFAE是矩形，∴FD＝EA．

又∵FB＝FD，∴FB＝EA，

∴△BFM≌△AEM(SAS)，

∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90°，

∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°，

∴△MEF是等腰直角三角形．

方法总结

证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．

触类旁通1具备下列条件的△ABC中，不能成为直角三角形的是(

)

[来源学科网][来源:学科网] [来源:学科网ZXXK][来源学。科。网Z。X。X。K][来源学科网]

1A．∠A＝∠B＝∠C

B．∠A＝90°－∠C C．∠A＋∠B＝∠C

D．∠A－∠C＝90°

2考点二、直角三角形的性质

【例2】

两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；

(2)证明：DC⊥BE. (1)解：图2中△ABE≌△ACD．

证明如下：

∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.

∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，

即∠BAE＝∠CAD．

又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD．

(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°. 又∠ACB＝45°，

∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，

∴DC⊥BE. 考点三、勾股定理及其逆定理

【例3】

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED．

∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm. 在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，

∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)．

∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，

在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.

∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3. ∴CD的长为3 cm. 方法总结

1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．

2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．

触类旁通2如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四边形ABCD的面积．

考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用

【例4】

如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

分析：因为DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，在AB上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．

解：设E站应建在距A站x km处，

根据勾股定理有82＋x2＝62＋(14－x)2，解得x＝6. 所以E站应建在距A站6 km处．

[来源学科网Z|X|X|K][来源学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

触类旁通3有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

1．(2012湖南邵阳)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段__________．

2．(2012湖南岳阳)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB＝3，BC＝4，则BD＝________. 3．(2012湖南郴州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边长为__________．

4．(2012湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15千米，CD＝32千米，请据此解答如下问题：

(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)；

(2)求∠ACD的余弦值．

1. 如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为(

) A．3 cm

B．6 cm

C．32 cm

D．62 cm

12．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a＋c＝2b，c－a＝b，则△ABC2是(

) A．直角三角形

B．等边三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是(

) A．57

B．25

C．57或25

D．无法确定

4. 如图，在Rt△ABC中，以三边AB，BC，CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则(

)

A．S1=S2 B．S1＜S2

C．S1＞S2

D．无法确定

5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B[来源:Zxxk.Com]

CE重合，折痕为DE，则的值是(

)

BC

24771A．

B．

C．

D．

732436. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，CD＝25，则BE的长为__________．

7. 如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为___________.

8. 如图，已知点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．