2.2.1平行四边形的对角线的性质教案板书设计

新课标(XJ)

数学

八年级下册

典案一

教学设计

课题

第2课时

平行四边形的

对角线的性质

知识技能

授课人

1.让学生掌握平行四边形对角线互相平分的性质；

2．能综合运用平行四边形的性质解决有关的计算问题和证明问题.

利用平行四边形对角线互相平分的性质培养学生对证明线段相等问题的思考.

利用平行四边形对角线互相平分树立等量思想，从而解决三角形全等证明及计算等问题.

1.经历探索平行四边形的对角线性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理能力；

2．逐步培养学生深入认识平行四边形的性质，在亲历知识的推理归纳过程中感受数学图形的变化美、数量上的特殊性，同时让学生体会平行四边形的各种等量关系的实用价值.

教

学

目

标

数学思考

问题解决

情感态度

教学

重点

教学

难点

授课

类型

教具

教学

步骤

平行四边形的对角线互相平分的性质及其应用.

综合运用平行四边形对角线的性质解决实际的计算与证明问题. 新授课

课时

直尺、三角板(多媒体：PPT课件、几何画板)

教学活动

师生活动

平行四边形的边、角性质：(学生回答) 对边：平行且相等；对角：相等．

推论：平行线间的平行线段相等；平行线间距离处处相等．

设计意图

回顾

回顾所学知识，为后面的讲述服务.

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1

新课标(XJ)

数学

八年级下册

(续表) 活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

画一个平行四边形ABCD，它的边、角各有什么性质？平行四边形除了边、角的性质之外，还有几条对角线，它们之间各有什么关系？

(质疑，引导学生思考，为引出课题服务．) 【探究】

平行四边形对角线的性质

(可以利用教材P42探究中猜想的形式进行教学)

以问题唤起学生对知识的回忆，为讲述问题提出方向.

图2－2－49 几何表述：

活动

二：

实践

探究

交流

新知

∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD. 其证明过程利用三角形全等知识进行，具体过程见教材P43的证明．

应用：已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，AC与BD交于点O，求BC，CD，AC，OA的长以及平行四边形ABCD的面积．

分析：本题没有图形，先根据题意画出图形，再由平行四边形的对边相等，可得BC，CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长．根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积＝底×高(高为此底上的高)，可求得四边形ABCD的面积．(平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，在平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．) 【应用举例】

例1

[教材P43例3]

如图2－2－50，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，CD＝4.8.试求△COD的周长．

活动

三：

开放

训练

体现

应用

图2－2－50

图2－2－51 变式一

[英德一模]

如图2－2－51，在▱ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A) A．4 cm

B．5 cm

C．6 cm

D．8 cm

[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10 cm，BD＝6 cm，11∴OA＝OC＝AC＝5 cm，OB＝OD＝BD＝3 cm.∵∠ODA＝2290°，∴AD＝4 cm.

经历猜想、尝试、证明的探索过程，培养学生独立思考与合作交流的能力，既可以积累探索经验，又能体验到成功的喜悦．从知识使用的角度来说可以增加学生运用平行四边形对角线互相平分的性质的机会，增强应用能力.

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2

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八年级下册

(续表) 例2

[教材P43例4]

如图2－2－52，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.

图2－2－52 求证：点O是线段MN的中点．

变式二

[泗阳期中]

如图2－2－53，在平行四边形ABCD中，对角线AC，(2)DG＝EG. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，BD＝2OD.

∵BD＝2AD，∴OD＝AD.

又∵E为OA的中点，∴DE⊥AC.

图2－2－53

1(2)在Rt△DEC中，G为斜边CD的中点，∴EG＝CD，∴DG＝EG.

2【拓展提升】

活动

三：

开放

训练

体现

应用

例3

在平行四边形ABCD中，若AB＝8 cm，则对角线AC，BD的长可能是(B) A．6 cm，10 cm

B．6 cm，12 cm

C．12 cm，4 cm

D．10 cm，4 cm

[解析] 根据平行四边形的对角线互相平分对各选项11的数据求出AC，BD的长度，然后利用三角形的三22边关系判定即可．

例4

如图2－2－54，在▱ABCD中，BD⊥AB，

图2－2－54 AB＝12 cm，AC＝26 cm，求AD，BD，BC及CD的长．

11解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12 cm，AO＝AC＝26×＝2213(cm)．∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABO中，OB＝AO－AB＝132－122＝5(cm)，∴BD＝2OB＝2×5＝10(cm)．在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝122＋102＝2 61(cm)，∴BC＝AD＝2 61 cm. 例5

已知：如图2－2－55，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F. 求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.

图2－2－55 证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形对应边相等)．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形对边相等)，

∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF.

22在练习例题的基础上，一边巩固所学知识，一边补缺，全面进步.

BD相交于点O，BD＝2AD，E，G分别是OA，CD的中点．求证：(1)DE⊥AC；变化应用，查漏突出教学重点，把握教学难点，将本课的教学内容深化，拓展学生应用数学的能力，在解题过程中训练学生采用变式的方式去改变原题模样，变换题目解答方式，采用数形结合的方式去提高解决问题的能力.

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(续表)

当堂训练：P44练习T1，T2. 作业布置：P50习题2.2A组T6，B组T7. 【知识网络】

当堂检测，及时反馈教学效果.

形成知识框架，便于归纳知识，把握教学实质.

【教学反思】

①[授课流程反思]

本课从重合与旋转的角度去导入，突出线段的相等，为后活动

四：

课堂

总结

反思

面对平行四边形对角线的性质采用全等法证明提供一定的依据，导入情节简单，三种方法可以任意选取，其中旋转法也可以在平行四边形的中心对称教学中使用．

②[讲授效果反思] 本课与前一节课综合起来，就概括了平行四边形全面的性质，这两节课将平行四边形的边、角、对角线三方面的性质从计算与证明上进行了应用，特别是教材中的两个例题，从对角线上剖析了解题的难点，突出对角线的应用性．

③[师生互动反思] 本课在导入上采用师生互动的方式，从猜测的角度先估测，然后利用数学原理证明，两者前后达成一致，实现对知识的先怀疑、后知晓、再应用的逐步上升的过程，让学生在学习中学以致用．

④[习题反思] 好题题号________________________________________ 错题题号________________________________________

典案二

导学设计

切实反思，有利于教学的进步，有利于教学经验的总结，更有利于自己整体教学水平的提高. 2.2平行四边形（2）

教学目标

1、理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

2、

能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

重点：理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

难点：1、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．

2、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．

教

学

过

程

第一步：课堂引入

1．复习提问：

（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

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八年级下册

（2）平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质（内角和是360）．

②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． ③边：平行四边形的对边相等．

第二步：探究新知：

【探究】：

请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

【结论】：

（1）平行四边形是 对称图形， 是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相 ．

平行四边形的高：在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．

平行四边形的面积：等于它的底和高的积，即SABCD＝a·h．（其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高）

第二步：应用举例：

例1、已知：

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．

例2、已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

第三步：随堂练习

1．在平行四边形中，周长等于48，

①

已知一边长12，求各边的长

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八年级下册

②

已知AB=2BC，求各边的长

③

已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．

3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则ABCD的周长是__ ___cm．

第四步：课后练习

1．判断对错

（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）

（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）

（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）

（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）

2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．

3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．

4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．

课后小结与反思

全

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