方差的应用优秀公开课教案

《方差的应用》教案

梓潼县观义中学：罗联斌

目标：通过实际生活题的练习熟练掌握方差的计算公式。

教学过程：

例1 选择题

现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm，方差分别是S果S甲＞S乙，那么两个队中队员的身高较整齐的是（

）

A．甲队

C．两队一样整齐

B．乙队

22甲2、S乙2，如D．不能确定

分析：根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．

解：∵S甲＞S乙，

∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．

故选：B．

点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

例2：填空题

若s＝222[（3.2﹣）+（5.7﹣）+（4.3﹣）+（6.8222）]是李华同学在求一组数据2的方差时，写出的计算过程，则其中的＝

5

．

分析：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，所以其中的是3.2、5.7、4.3、6.8的平均数，据此求解即可．

解：∵s＝2[（3.2﹣）+（5.7﹣）+（4.3﹣）+（6.8222）]，

2∴是3.2、5.7、4.3、6.8的平均数，

∴＝（3.2+5.7+4.3+6.8）÷4

＝20÷4

＝5

故答案为：5．

点评：此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一

组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．

3．如图是一次射击训练中某士兵甲的10次射击成绩（均是整数）的分布情况，则射击成绩的方差是

0.6

．

分析：先根据图求出甲的成绩，再由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算．

解：由图中知甲的成绩为7，8，8，9，8，9，9，8，7，7，

甲的平均数＝（7+8+8+9+8+9+9+8+7+7）÷10＝8，

则甲的方差S甲＝[3×（7﹣8）+4×（8﹣8）+3×（9﹣8）]÷10＝0.6，

故答案为：0.6．

点评：本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S＝22222[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，它反映了一组数据的波动大小，方差222越大，波动性越大，反之也成立．

例3．两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验是从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：

机床甲

机床乙

10

10.1

9.8

10

10

9.9

10.2

10

请你分析哪一台机床生产的零件质量更符合要求．

分析：分别求出两种数据的平均数和方差，根据方差的性质解答．

解：＝∴S2＝×（10+9.8+10+10.2）＝10，

×（10.1+10+9.9+10）＝10，

，

2222＝＝甲×[（10﹣10）+（9.8﹣10）+（10﹣10）+（10.2﹣10）]＝0.02，

S2乙＝甲×[（10.1﹣10）+（10﹣10）+（9.9﹣10）+（10﹣10）]＝0.005，

＞S2乙2222∴S2，

故机床乙生产的零件质量更符合要求．

点评：本题考查的是方差的计算和性质，方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S＝2[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，它反映了一组222数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

例4．某校要从甲、乙两个跳远运动员中选一人参加一项比赛，在最近的10次选拨赛中，他们的成绩（单位：cm）如下：

甲：585，596，610，598，612，597，604，600，613，601

乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，624

（1）分别求甲、乙的平均成绩；

（2）分别求甲、乙这十次成绩的方差；

（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？历届比赛成绩表明，成绩达到5.96m就很可能夺冠你认为应选谁参加比赛？

分析：（1）根据平均数的公式进行计算即可．

（2）根据方差的计算公式：S＝可．

（3）从甲和乙的平均成绩与方差描述成绩特点，再从10次成绩中达到5.96m的次数确定选拔人员．

解：（1）

（2）SS

（3）由＞且S2甲2[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，求解即222＝（585+596+…+601）＝601.6，＝（613+618+…+624）＝599.3；

2甲＝[（585﹣601.6）+（596﹣601.6）+…+（601﹣601.6）]＝65.84，

2222222乙＝[（613﹣599.3）+（618﹣599.3）+…+（624﹣599.3）]＝284.21．

＜S2乙知，甲平均成绩高且比乙的成绩稳定，

∵甲10次成绩中有9次成绩达到5.96m，而乙10次成绩中只有5次达到5.96m，而且甲的成绩稳定，

∴应该选择甲参加比赛．

点评：本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S＝2[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]．

222例5．我市准备挑选一名跳高运动员参加省中学生运动会，对跳高队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位：cm）如下

甲：170

165

168

169

172

173

168

167

乙：163

174

173

162

163

171

170

176

（1）甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？

（2）哪名运动员的成绩更为稳定？为什么？

（3）若预测，跳过165cm就很可能获得冠军该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？为什么？若预测跳过170m才能得冠军，可能选哪位运动员参赛？为什么？

分析：（1）根据平均数的计算方法，将数据先求和，再除以8即可得到各自的平均数；

（2）分别计算、并比较两人的方差即可判断．

（3）根据题意，分析数据，若跳过165cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm，而乙只有5次；若跳过170cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm，而乙有5次．

解：（1）分别计算甲、乙两人的跳高平均成绩：

甲的平均成绩为：乙的平均成绩为：

（2）分别计算甲、乙两人的跳高成绩的方差分别：

S甲＝S乙＝22（170+165+168+169+172+173+168+167）＝169cm，

（163+174+173+162+163+171+170+176）＝169cm；

×48＝6cm，

×216＝27cm，

22∴甲运动员的成绩更为稳定；

（3）若跳过165cm就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了165cm，而乙只有5次，

所以应选甲运动员参加；

若跳过170cm才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了170cm，而乙有5次，

所以应选乙运动员参加．

点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

例6．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：

甲

乙

第1次

10

10

第2次

9

10

第3次

8

8

第4次

8

10

第5次

10

7

第6次

9

9

根据表格中的数据，可计算出甲、乙两人的平均成绩都是9（环）．

（1）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

（2）根据数据分析的知识，你认为选

甲

名队员参赛．

分析：（1）根据方差公式S＝甲、乙的方差；

（2）根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．

解：（1）甲、乙六次测试成绩的方差分别是

S甲＝S乙＝

（2）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：

两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．

点评：此题主要考查了方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S＝22222[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]，即可求出222×[（10﹣9）+（9﹣9）+（8﹣9）+（8﹣9）+（10﹣9）+（9﹣9）]＝×[（10﹣9）+（10﹣9）+（8﹣9）+（10﹣9）+（7﹣9）+（9﹣9）]＝222222222222，

，

[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn22﹣）]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

例7．有甲、乙两名运动员，选择一人参加市射击比赛，在选拔赛上，每人打10发，其

中甲的射击成绩分别为10、8、7、9、8、10、10、9、10、9

①计算甲的射击成绩的方差；

②经过计算，乙射击的平均成绩是9，方差为1.4，你认为选谁去参加市射击比赛合适，为什么？

分析：（1）先求出甲射击成绩的平均数，再由方差公式求出甲射击成绩的方差即可；

（2）根据平均数和方差的意义，即可得出结果．

【解答】∴S2甲＝[（10﹣9）+（10﹣8）+…+（9﹣9）]＝1；

222（2）选甲运动员去参加比赛更合适；理由如下：

因为甲、乙射击的平均成绩一样，而且甲成绩的方差小，说明甲与乙射击水平相当，但是甲比赛状态更稳定，所以选甲运动员去参加比赛更合适．

点评：本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．