探索多边形中隐含的规律主要内容及教案内容

第九单元

探索乐园

教材分析

《探索乐园》是《新课程标准》中的重要内容。探索多边形中隐含的规律，以及乘法运算中的数学规律在《标准》的小学第二学段提出了具体目标，在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有调理的思考，能比较清楚的表达自己的思考过程与结果。本册教材“探索乐园”安排两个主题内容：一是探索多边形中隐含的规律；二是用计算器探索乘法运算中的规律。

探索多边形中隐含的规律，是在学生认识了多边形，知道三角形内角和等于180度，会用字母表示数的基础上进行的。教材安排了两个例题：①探索多边形的边数与从一个顶点画线段的条数以及分割成的三角形个数之间的关系；②探索多边形边数与多边形内角和的关系。

用计算器探索乘法运算的规律，教材设计了两个例题。例3，用2.3.4.5.6五个数字组成一个三位数和一个两位数，提出：怎样组数，可使两个数的乘积最大和最小的问题。例4探索若干个1组成的数相乘所得积的规律。本节课是在学生能用数字组数、用计算器探索过乘法运算中一些简单规律的基础上进行的，对学生来讲有一定的挑战性。

教学目标

1、探索并发现多边形的边数与分割成的三角形的个数以及内角之间隐含的规律，能运用发现的规律解决问题。

2、能用计算器探索乘法运算中的数学规律，并能运用规律写出相关计算的结果。

3、在用不同的数字组数、探索怎样组合乘积最大或是最小以及

总结特殊乘法运算规律的过程中，体会乘法运算中有许多奥秘，发展数感。

4、在探索规律、发展规律、用自己的语言表述规律以及运用规律解答简单问题的过程中，能进行有条理的思考，能清楚地表示自己思考的过程和结果。

5、了解用计算器探索运算规律的作用，获得数学活动经验和成功的体验，激发学生学好数学、探索数学问题的兴趣和自信心。

重点、难点

1.经历由具体的图形发现规律、再把规律扩大到一般、最后总结规律并用字母表达以及应用的过程。

2.通过尝试计算，发现并找出五个不同数字组成一个三位数和两重点

位数，怎样组数使乘积最大和最小的规律。

3.了解积是一个特殊回文数，发现因数中1的个数与积这个回文数中数字的排列规律。

1.字母表达式的总结。

难点

2.用自己的语言描述规律。

教学建议

1、看学生能否按要求把多边形分割成三角形并完成填表，能否根据表中的数据发现、总结出多边形变数与分割成的三角形的关系；看学生能否把发现的规律推广到其他多边形，总结出n边形的字母表达式；看学生能否根据一个三角形的内角和是180°以及多边形边数和分割成三角形的关系，总结出计算多边形内角和的字母表达式；看学

生能否根据字母的值，利用字母表达式解决问题。

2、看学生能否发现并掌握用五个数字组成三位数和两位数，使两个数的乘积最大、最小的规律；看学生能否发现若干个1组成的因数自乘所得的积的规律；看学生能否利用发现的规律进行计算。

3、看学生组数时，是否体会到数字的大小组数的道理，是否能发现并尝试描述若干个1自乘所得到积的排列特点；看学生在发现、总结规律时，能否进行有条理的思考，是否愿意并清楚地与他人交流自己的思考过程，说明结果的合理性。

课时安排

本单元用2课时完成教学。

课题

多边形隐含的规律

组数中的规律

总计

课时

1 1 2 第1课时 探索多边形隐含的规律



教学内容

教材第98页，探索多边形隐含的规律



教学提示

本课是在学生认识了多边形，知道三角形内角和等于180度，会用字母表示数的基础上进行的。本节课主要是探索多边形中隐含的规律。教材安排了两个例题。探索多边形的边数与分割成的三角形的个

数之间的规律和探索多边形的内角和。



教学目标

知识与技能：了解多边形的边数与分割成的三角形个数，以及内角和之间的隐含的规律，能运用规律解决问题。

过程与方法：通过观察、操作和归纳等数学活动，经历自主探索、发现、总结多边形中隐含的规律的过程。。

情感、态度与价值观：体会字母表达式的意义，获得探索规律解决问题的成功体验，培养归纳概括和推理能力。



重点、难点

重点

经历由具体的图形发现规律、再把规律扩大到一般、最后总结规律并用字母表达以及应用规律的过程，获得初步的数学建模的活动经验，体会用字母表达规律的价值。

难点

字母表达式的总结。



教学准备

教师准备：实物投影仪；多媒体课件。



教学过程

一、新课导入：

台历上的数学规律

爸爸给我买的台历一直放在我的书桌上，非常精致，封面上两只可爱的小老鼠一直对着我傻笑。我翻着台历，仔细欣赏着，突然发现数的排列竟有许多不同的规律。

规律一：横着看，相邻两个数的差为1，而且从左往右不断递增1；

规律二：竖着看，相邻两个数的差为7，而且从上往下不断递增7；

规律三：从右上向左下斜着看，相邻的数间递增6；

规律四：从左上向右下斜着看，相邻的数间递增8；

规律五：当几个数形成正方形时，两条对角线上的几个数的和相等；

规律六：以一个数为中心，它与周围的8个数正好构成一个正方形，而且这9个数的和正好是这个数的9倍。

同学们，你们瞧我发现的规律多吗？我想生活中的数学问题肯定还有很多很多，让我们一起继续探索吧！

设计意图：利用游戏，激发了学生的学习兴趣。

二、探究新知：

（一）创设情境，探究新知

师：我们都学习过三角形，大家来看一看这些都是什么图形呢？它们都有几条边呢？（展示幻灯片）

生：四边形、五边形、六边形、七边形

师：读的很准确。它们的名称就是根据它们的边数确定的，这些图形统称多边形。

师：现在我们来看一看四边形、五边形是怎样分割成三角形的。（幻灯片演示）你看懂了吗？

（1）照样子画出虚线并填表。

多边形变数4 5 6 7

（条）

画出的线段的条数（条）

三角形的个数（个）

1 2 3 4 2 3 4 5 师：观察表中的数据，你发现了什么？

生：（学生独立思考，给学生充分表达不同意见的机会，最后总结）

①画出的线段的条数等于多边形的边数减去3；

②分割成的三角形个数等于多边形的边数减去2；

③画出的线段的条数等于三角形的个数减去1。

（2）根据发现的规律，完成下面表格。

多边形变数（条）

画出的线段的条数（条）

三角形的个数（个）

6 7 8 ……

n－2 5 6 7 ……

n－3 8 9 10 ……

n （3）n＝12时，你知道画出的线段条数和分割成的三角形个数各是多少吗？

（学生自己回答，同时说一说你是怎样算的）

设计意图：在已学知识的基础上，通过分一分，画一画，观察并总结规律，体验知识的形成过程，培养学生的探究能力。

（二）创设情境，探究新知

（1）师：怎样求四边形的内角和？

生：（学生充分发表自己的意见，达成共识）可以把四边形分割成两

个三角形来计算。

师：很好，活学活用，那现在算算四边形的内角和吧。

生：一个四边形可以分成两个三角形，一个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和就是360°。

（2）小组合作，完成下面的表格。

多边形变数（条）

三角形的个数（个）

多边形的内角和

（3）总结的字母表达式真棒，那谁能根据这个式子说一说当n＝12时，多边形的内角和是多少度呢？

设计意图：学生通过对自己的尝试进行总结交流，加深对获取知识点认识，通过与前面学过的知识点比较、拓展，帮助学生构建知识结构。

三、巩固新知：

1、计算十五变形能分割成多少个三角形。

2、计算二十五边形的内角和。

设计意图：对规律的掌握及提高运用熟练度。

四、达标反馈

1、从六边形的一个顶点出发，可以分割成（ ）个三角形。

2、九边形的内角和是（ ）。

360°

540°

720°

900°

……

180°×（n－2）

2 3 4 5 ……

n－2 4 5 6 7 ……

n

3、平行四边形的内角和是（ ）。

4、将下面的图形进行分割，求出它的内角和。

答：1、4 2、1260° 3、360° 4、720°

五、课堂小结

通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？

设计意图：引导学生进行小结，有利于知识的积累和自主学习能力的提高。

六、布置作业

1、完成课本99页的“练一练”。

2、小明有一个设想：为了纪念2022年北京冬奥会，要是能设计一个内角和是2022°的多边形花坛该多有意义啊！小明的这个想法能实现吗？

答案：1、

图号

每边扣子个数（个）

扣子总数（个）

3 6 9 12 ……

n×3 2 3 4 5 ……

n＋1 ①

②

③

④

……

n （3）当n=8时，n×3＝8×3＝24（个）

2、2022÷180＝11……42，不能取整数，所以不能实现。



板书设计

画线段条数＝多边形边数－3

三角形个数＝多边形边数－2 画线段条数＝三角形个数－1 多边形内角和＝180°×（n－2）



教学反思

本节课从“有趣的台历”入手，在导入新课时出示了日常生活用品-台历，加强了数学与实际生活的联系，让学生感到数学离自己很近，激发了学生的求知欲。创设了良好的教学氛围。其次注重让学生在学习活动中领悟数学思想方法。数学的思想方法比有限的数学知识更为重要。学生在探索多边形内角和的过程中先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这体现了由未知转化为已知的思想。特别是在课堂教学中适时的利用问题加以引导，使学生领会数学思想方法，真正理解和掌握数学的知识、技能，增强空间观念及数学思考能力培养，并获得数学活动经验。同时，恰当的使用课件扩大了课堂容量，使课堂教学的深度和广度都有所提高。课件的使用提高了课堂效率，为学生的探索讨论赢得了时间。同时也加大了练习量，有助于学生知识可巩固和提高。在教师适当的引导下，学生能够合作交流和自主探究，成功的探索出了多边形隐含的规律，较好的完成了本节课的教学目标。



教学资源

探索规律型问题

所谓探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分

析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．

在近几年的考试中，此类型题目备受青睐，常见的类型有三种：

(1)数与式变化规律型；如观察下列等式：①3²－4×1＝1²＋4；②4²－4×2＝2²＋4；③5²－4×3＝3²＋4；…则第n个等式可以表示为(n＋2)²－4n＝n²＋4。

(2)图形变化规律型；如图，用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要____枚棋子，摆第n个图案需要____枚棋子。

图解：

第n个图案共有棋子[3×n×(n＋1)＋1]枚，即3n²＋3n＋1枚，特别地，当n＝6时，3n²＋3n＋1＝127。

(3)猜想论证型；这种类型的解题方法和步骤有三步：(1)通过对几个特例的观察与分析，寻找规律并进行归纳；(2)猜想符合规律的一般性结论；(3)对一般性结论进行验证。

比如在正方形ABCD中，点P是直线CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足为E、F。

(1)在下面图1、图2、图3中，请探索BE、DF、EF这三条线段

长度具有怎样的数量关系？请分别直接写出结论；

(2)请在(1)中的三个结论中选择一个加以证明．

第2课时 探索乘法运算的规律



教学内容

教材第100、101页，探索乘法运算的规律



教学提示 用计算器探索乘法运算的规律，教材设计了两个例题。例3，用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和一个两位数，提出：怎样组数，可使两个数的乘积最大和最小的问题。例4探索若干个1组成的数相乘所得积的规律。本节课是在学生能用数字组数、用计算器探索过乘法运算中一些简单规律的基础上进行的，对学生来讲有一定的挑战性。



教学目标

知识与技能：能用计算器探索较复杂的乘法运算中的数学规律，能清楚地表达思考的过程和结果。

过程与方法：经历用计算器探索、交流特殊乘法运算中隐含的数学规律的过程。。

情感、态度与价值观：体验探索活动的挑战性，获得用计算器探索的数学规律的成功体验，激发探索数学问题的兴趣。



重点、难点

重点

用计算器探索、交流特殊乘法运算中隐含的数学规律。

难点

用自己的语言描述规律。



教学准备

教师准备：实物投影仪；多媒体课件。



教学过程

一、新课导入：

（动画片演示）八戒正往前走，忽听背后有人叫他：“老猪，好自在啊!”八戒回头一看，是托塔天王的三太子哪吒。

八戒摇晃着脑袋说：“这不是那个三头六臂的妖精吗？”

哪吒听八戒叫他妖精，勃然大怒，大喝一声：“变!”随即变做三头六臂，6只手分别拿着6件兵器：斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿，恶狠狠地朝八戒打来。

八戒不敢怠慢，舞动钉耙迎了上去，两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜，又喊了一声：“换!”6只手拿着兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法，可把八戒打晕了。

八戒连连摆手说：“不行啦，不打啦，我说你这6只手一共有多少种不同的拿法？”

“720种!”哪吒神气活现。

“吹牛。”八戒把大嘴一撇说：“有二三十种我还信，720种？你别骗我啦!”

哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿，对八戒说：“你看，我5只手拿的兵器固定不变，这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。”

八戒点点头说：“嗯，不错，就一种拿法。”

哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵，这时第5、6只手可以轮换拿绣球儿、火轮儿，共有两种拿法。

哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索，而另3只手变换出以下6种拿法：

降妖杵、绣球儿、火轮儿；

降妖杵、火轮儿、绣球儿；

绣球儿、降妖杵、火轮儿；

绣球儿、火轮儿、降妖杵；

火轮儿、绣球儿、降妖杵；

火轮儿、降妖杵、绣球儿。

八戒摸摸脑袋说：“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀？还不排晕喽!”

哪吒笑骂着：“真是个呆子!你观察一下下面的3个数：1＝1,2＝1×2,6＝1×2×3。由此推想：如果固定两只手，而剩下的4只手随意拿，可有1×2×3×4＝24种拿法。而6只手都随意拿呢？有1×2×3×4×5×6＝720种不同拿法。”

八戒向哪吒一拱手：“你的变化真多，我服了。”

设计意图：通过趣味故事，激发学生学习的兴趣，又联系了搭配的问题，导入新课。

二、探究新知：

（一）创设情境，探究新知

师：用2、3、4、5、6五个数字组成一个三位数和一个两位数，你能写出多少？（给学生充分发表不同想法的机会，然后小组合作，

写出算式并用计算器计算。）

生：（交流各组探索的过程和结果）

A、6一定要写在三位数的百位上；

B、5写在三位数的百位上；

C、用6和3组成两位数，试一试；

D、那三位数就是542，即542和63的乘积最大。

师：结果是正确的，你能用自己的语言描述组数的规律吗？

生：把5个数字按从大到小排序，最大的数要作为两位数的十位数，第4个数要作为两位数的个位数；其他3个数字组成最大的三位数。

师：要使两个数的乘积最小，该怎么做呢？

生：（学生讨论猜测，用计算器进行探索）

A、最小的数字要写在三位数的百位上吗？

B、最大的数字写在哪个数的个位上呢？结论：356和24的乘积最小，把5个数字从小到大排序，最小的数要作为两位数的十位数，第3个数要作为两位数的个位数，其他3个数字组成最小的三位数。

（二）创设情境，探究新知

1、师：用计算器计算出它们的积。（幻灯片展示）

师：观察计算器计算的积，先说一说积是一个什么数，然后谁能告诉我你发现了什么呢？

生：一个因数中有几个1，积就从1开始顺次写到几，然后再递减写到1。

2、利用发现的规律写出下面两道题的得数，并说一说你是怎样想的。

11111111×11111111＝ 111111111×111111111＝

设计意图：练习设计体现基础性、层次性，既面向全体学生，巩固当堂所学的知识，又激发了学生的内在潜能。用计算器计算，降低难度，这一环节既让学生熟练的计算器的应用，又培养了学生的分析

问题以及概括知识的能力。

三、巩固新知：

1、用1、2、3、4、6五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大。

2、先找规律，再填空。

123456789×9＝1111111101 123456789×18＝2222222202 123456789×27＝（ ）

123456789×36＝（ ）

设计意图：提高对规律的掌握程度，适时拓展会让学生对知识的掌握更加透彻。

四、达标反馈

1、先找规律，再填空。

11×99＝1089 111×999＝110889 1111×9999＝11108889 11111×99999＝（ ）

111111×999999＝（ ）

2、用4、5、6、7、0五个数字组成一个三位数和一个两位数，使它们的乘积最大。

答案：1、 1111088889 111110888889 2、 74×650＝48100 五、课堂小结

通过今天这节课的学习，你知道了什么，学会了什么？有哪些收获，还有什么不懂的问题？

设计意图：引导学生进行小结，有利于知识的积累和自主学习能

力的提高。

六、布置作业

1、完成课本100页的“试一试”。

答案：略

2、完成课本101页的“练一练”。

答案：1、2222177778 4444355556 2、略



板书设计

一、任意五个数字“①、②、③、④、⑤”其中①>②>③>④>⑤,组成的位数和三位数虽然很多，但求它们的乘积最大或最小的数还是有规律的，乘积最大的是“②③⑤“和“①④”，乘积最小的是“④②①“和”⑤③”。

二、一个因数中有几个1, 积就从1开始顺次写到几，然后再递减写到1。



教学反思

“规律”是一类对象的共同属性，人们把握规律，首先要认识该类对象，了解它的特点，并能把它与其他类别的对象相区分，才能把特有的对象与特有的规律对应联系起来。两位数乘两位数里的一些特殊情况，乘积是有规律的。让学生研究这些乘法，发现积的规律，能够品尝数学探索的艰辛、严谨和成功的喜悦，在知识技能、数学思考、情感态度等方面得到实实在在的发展。

探索规律，主要通过观察和比较来发现规律。即观察每一道乘法算式的积和两个乘数，比较积里的数与乘数里的数，研究其中的某些对应联系，初步发现一类乘法算式的积的规律。

表达规律是探索规律过程中的一个重要环节。把发现的规律用适当的形式表示出来，是探索活动的成果结晶，是思维的一次抽象与概

括。数学模型是表达规律的最好方式，然而小学生一般达不到使用数学模型的水平，比较适宜的方式是让他们说说自己的发现，交流个人的想法。教学时必须注意，探索规律的主体是学生，总结和表达规律的主体仍然是学生。我们只能引导学生开展探索活动，帮助他们发现并说出规律，但不宜把规律讲给学生听，更不能把总结好的规律交给学生。如果这样，就违背了教材设计《探索规律》的初衷。即使数学能力比较弱的学生，也要在与同学的交流中了解规律，而不要从教师那里直接得到规律。

要注意的是，及时列举同类的其他乘法题，按规律写出乘积，并用计算验证规律。从前面一些乘法算式得出的规律是否具有普遍意义？是否适用于同类的其他算式？还需要进一步验证。列举同类的其他算式验证规律，其教育价值主要体现在两点：一是通过仿照既有的规律，再写出几道算式的得数，能进一步熟悉规律的内容；二是尽管现在的探索规律只能不完全归纳，但让学生经历“初步发现——继续验证——最终确认”的过程，培养了严谨的学习态度。



资料链接

数学家与他的墓碑

德国的一位数学家卢道尔夫，一生致力于数学研究。他用毕生的精力在1596年把圆周率计算到小数点后的35位数。卢道尔夫死后，人们为了纪念他及他在数学上的这一成就，他在的墓碑上刻着：3.14159265358979323846264338327950288。

我国著名的数学家陈景润的墓碑上刻有“1＋2”这个算式。当人们看到这个算式就不由会想到“一个大偶数可以写成这样两个数之和，其中一个是素数，另一个的素因子不超过两个”这个定理和令多少数学家要征服又未征服的“1＋2”难题，想到“1＋2”被攻克的艰难历程，就想到一个杰出的数学家——陈景润。