4.1.1变量与函数全国优秀课堂实录

第4章

一次函数

§4.1.1 变量与函数

1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念；

2．了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式；

3．确定简单问题的函数关系．

教学重点：函数概念的形成过程. 教学难点：正确理解函数的概念.

一、情境引入

如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．

在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．

你能举出一些类似的实例吗？

二、合作探究

【探究活动一】常量与变量

分析并指出下列关系中的变量与常量：

(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2；

(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的1关系式是h＝2gt2(其中g取9.8m/s2)；

(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8w. 解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．

解：(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，变量是S，R；

(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的11关系式是h＝2gt2(其中g取9.8m/s2)，其中常量是2g，变量是h，t；

(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x＝1.8w，常量是1.8，变量是x，w.

〖归纳〗常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．

变式训练：完成课本P11说一说.

【探究活动二】函数的定义

下列说法中正确的是(

) A．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的函数

B．变量x，y满足y＝－x2－1，则y可以是x的函数

C．变量x，y满足|y|＝x，则y可以是x的函数

D．变量x，y满足y2＝x，则y可以是x的函数

1－x解析：A中x＋3y＝1，y可以看作x的函数，因为y＝3；B中y＝－x2－1，因为－x2－1<0，等式无意义，即对于变量x的任何一个取值，变量y都没有唯一确定的值，故y不是x的函数；C、D中的|y|＝x和y2＝x，对于变量x的任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一)值与其对应，故y不是x的函数．故选A.

〖归纳〗判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．

变式训练：完成课本P112练习第1题

【探究活动三】确定自变量的取值范围

【类型一】

确定函数解析式中自变量的取值范围

写出下列函数中自变量x的取值范围．

x－13(1)y＝2x－3；

(2)y＝；

(3)y＝4－x；

(4)y＝. 1－xx－2解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

解：(1)全体实数；

(2)分母1－x≠0，即x≠1；

(3)被开方数4－x≥0，即x≤4；

x－1≥0，(4)由题意得解得x≥1且x≠2. x－2≠0，〖归纳〗本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．

【类型二】

实际问题中自变量的取值范围

水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t分钟后，水箱内存水y升．

(1)求y关于t的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)7：55时，水箱内还有多少水？

(3)几点几分水箱内的水恰好放完？

解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t的取值范围；(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即可．

解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t的函数关系式为y＝200－

2t(0≤t≤100)；

(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；

(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．

【探究活动四】简单问题的函数关系

一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；

(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．

解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；

1解：(1)y＝10＋2x，其中x是自变量，y是自变量的函数；

11(2)将x＝5代入y＝10＋2x，得y＝10＋2×5＝12.5(cm)．

答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．

〖归纳〗根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．

变式训练：完成课本P112第1题

【探究活动一】函数值

5

根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为2，则输出的函数值为(

) 32A.2

B.5

425

C.25

D.4

5之间，∴解析：∵x＝2时，在2≤x≤4512将x＝2代入函数y＝x，得y＝5.故选B. 〖归纳〗根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．

变式训练：完成课本P112练习第2题

三、课堂点拨

1．常量和变量的概念

2．函数的概念

3．函数关系式

4．自变量的取值范围

5．函数值

四、课堂练笔

1．指出下列关系式中的变量与常量：

（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式：S=4πR2；

（2）在一定温度范围内，一种金属棒长度l(cm)与温度t(0C)之间有关系式：l=0.002t+200.

2．某校有宿舍x间，学校规定每间宿舍可住6名学生，宿舍恰好住满，请你写出住校生总数y（人）与宿舍间数x之间的关系，指出本题中的变量、常量、自变量和函数．

3．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并且出示了下面的表格：

距离地面高度/千米

0 1 2 3 4 5 温度/℃

20 14 8 2 －4 －10 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答：

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？

（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？

（3）你知道距离地面5千米高空的温度是多少吗？