习题教案公开课一等奖

天体运动综合专题讲座(三)

一、知识回顾

1．开普勒定律

第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

T2

第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期相等。即：3常量．(此a常量与中心天体的质量有关)

2.行星运动的能量

⑴行星的动能

当一颗质量为m的行星以速度

绕着质量为M的恒星做半径为r的圆周运动：

EKGM1Mmm2G，式中。

22rr

⑵行星的势能

对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点，当m与M相距r时，其体系的引力势能：EPGMm

r1MmMmm2GG,由此可知:EEK

2r2r

⑶行星的机械能：EEKEP3．宇宙速度和引力场

⑴宇宙速度（相对地球）

第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）,其值为多少?答:____

第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）.其值为多少?答:_____ 第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）,其值有多少?答:________ 4.

与椭圆轨道相关基本知识

(1)行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为vb之间的关系为vaa=vbb(可利用面积定律证明)由此可推出“面积速度”：

S1rsin（θ为矢径r与速度的夹角）

t2(2)椭圆的面积SAB(A、B分别表示半长轴与半短轴) （3）轨道半长轴为A，半短轴为B，焦距的一半为C，那么它们存在如下关系：CA2B2

5.解决天体相关问题的“三把钥匙”：

（1）做圆周运动的万有引力提供向心力

（2）灵活运用开普勒的面积定律与周期定律；

（3）天体作椭圆运动的机械能守恒的一般表达式：

12Mm12Mmmv1(G)mv2(G)

2r12r2

二、典型例题：

（一）．基础例题：

[题目]：地球m绕太阳M（固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A，半短轴为B，如图所示，试求地球在椭圆顶点1、2的运动速度的大小。

[解析]：对顶点1、2，由机械能守恒定律有1Mm1Mm2m12Gm2G

①

2AC2AC根据开普勒第二定律有V

②

（）V（）1AC2AC②式中CA2B2

ACGMAA2B2由①②式解得V1==BABACGMAA2B2V2==BAB[拓展1]：如何求出第3点的速度？

[简解]：对顶点3，由3－1处机械能守恒得将1代入上式得3GM

AGMA

1Mm1Mmm32Gm12G

2B2ACGM

A由上式及万有引力提供向心力得[拓展2]：如何求出1、2、3点的曲率半径？

[简解]：对于1点：V12MmA2

Gmr1r1B(AC)2A2其他2与3点，由同学们自己解答。[显然。2点的曲率半径与1点相同，3点的曲率半径为3]. B（二）．“大尺度”上抛运动

[题目]

：某移动导弹部队在某处以第一宇宙速度从地面竖直向上发射一枚导弹，该弹经空中飞行在离发射地不远处地面爆炸，假设飞行中空气阻力不计，试求此导弹在空中飞行的时间?（已知地球半径为R）

[解析]把导弹的运动看成是椭圆轨道运动的一部分，如图1所示，假设椭圆的半长轴为a、半短轴为b、焦距为c, 因ab，故ac，也就是说半长轴a的值是该椭圆的主要参数，应先求之：

因人造卫星的近地环绕速度等于第一宇宙速度，故由F万=F

向可得第一宇宙速度vGMgR

（1）

R从A到D地球与导弹的系统机械能守恒，其中D点速度为零，势能表达式为：

EpGMm/r

12GMmGMmmv

（2）

2R2a由（1）、（2）得：aR

则：

导弹在从A经D到B的过程中，它与地心O联线在相等时间内扫过相等的面积，即扫过的面积），我们可以把这一比值叫面积速率S，

dA=常数（A为矢径dt，质如图2，P1、P2为质点沿着它的轨道运动时两相邻间的位置，两者与原点O的矢径所张的角度为t，点自P1沿着轨道运动到P在这段时间内，矢径所扫过的面积A为曲边三角形OPP2所需的时间为12的面积，当t0时，p2p1，A就近似地等于扇形OPP12的面积，此面积为

1r(r)，故

2SdAA1121limlimr2rrv

dtt0tt02t22b，vvsin，这样a式中v为垂直矢径方向的分速度；有了求面积速率的方法，我们就可以通过已知速度的发射点A来求上述问题的面积速率，不放把图1中的椭圆放大成图3，假设AOE，则sinS111avsinbv，而椭圆面积等于ab，半椭圆ADB的面积为ab，导弹从A经D到B过程中222矢径所扫过的面积：

111SSADBSAOBab2baabba

22211abbaab(2)A21R2故待求量——导弹飞行时间t

(2)a(2)11SgRgbvbgR22

[变式]大尺度落体运动——

[题目]一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。

11ababSRR3.14640010342T2(1)[答案：t

(1)2.06103s] S0abg2g29.8

（三）弹道导弹发射运动

[题目]：从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为EGMm式2a中M为地球质量，G为引力常量.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示). [解析]：导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午面)内，

因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点.根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上.已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a的关系为EGMm

(1) 2a要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短.根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小.显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C2R

(2) 21GMm2

设发射时导弹的速度为v，则有：Em

(3) 2R到该焦点的距离必最小.由几何关系可知：2aR

解(1)、(2)、(3)式得

比较(4)、(5)两式得2GMMm(2)

(4)

因G2mg

(5) RR2Rg(2)

(6)

代入有关数据得7.2km/s

(7)

速度的方向在C点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出，速度方向与OC的夹角

0

90145067.50

(8) 22R

(1)式中R是地球的T[拓展]：若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？

[简解]：由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为C半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故

C0.46km/s(2) C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度C，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于C、方向与C相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为

C

(3) 代入有关数据得7.4km/s

22

（四）飞船或卫星发射问题

[题目]：一颗质量为m的人造地球卫星沿轨道半径为r1的圆形轨道环绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增大为r2，则卫星上的发动机所消耗的最小能量为：（假设卫星的质量始终不变，不计一切阻力及其它星体的影响）

A．EC．E

[变式1]：要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球作匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球作匀速圆周运动。如图所示，在A点，实际使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求卫星从A点到达B点所需的时间。（设万有引力恒量为G，地球质量为M．）

[简解]：以V表示卫星的速度，当卫星在暂行轨道上经过近地点A和远地点B时．V与r垂直，根据并普勒第二定律，有VB卫星在暂行轨道上总机械能守恒EAEB

GMm1111()

B．EGMm()

2r1r2r1r2GMm112GMm11()

D．E()

3r1r23r1r2r1VA

r2EA1Mm1Mm11112，EBmVB2G，mVA

mVA2GmVB2GMm（）2r12r222r1r22GMr22GMr1，VB2

（r1r1r2）r（2r1r2）2解得VA1rV1A

2rr椭圆的面积为ab，其中a12，br1r2

2卫星的面积速度为SSASB3（r1r2）因此周期为T

S2GMab从A到B点所需时间t为t

（r1r2）r1r2T

222GM[拓展1]：证明第二宇宙速度为第一宇宙速度的2倍

[拓展2]：要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。试证明在地球发射这一艘飞船时，其绕日速度与地球绕日速度大小相等？

[作业]：该专题的“拓展与变式”问题以及《自主招生直通车》第53页7、9、10三题