4. 人造卫星 宇宙速度优秀完整教案

万有引力定律与天体的运动

1.高考考查特点

(1)本考点高考命题角度

①万有引力定律与牛顿运动定律的综合应用。

②人造卫星的运行参数，卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化。

(2)解此类题的关键是掌握卫星的运动模型，离心(向心)运动的原因及万有引力做功的特点。

2.常见误区及临考提醒

(1)对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解。

(2)对公式v＝GM不理解，误认为阻力做功，速度减小，半径增大。

r(3)误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用。

(4)只能估算中心天体的质量和密度，不能估算环绕天体的质量和密度。

预测1

预测2

预测3

预测4

天体质量和密度的估算

行星、卫星的运动问题

航天器的变轨与对接问题

双星、多星的运动问题

【真题示例1】

(2017·全国卷Ⅲ，14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(

) A.周期变大 C.动能变大 B.速率变大

D.向心加速度变大

2GMm4πv2解析

根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，2＝

m2r

＝m＝ma，解得T＝rTr4πr23GM，v＝GMGM，a＝2，由于轨道半径不变，所以周期、速率、加速度均不变，选项rr12A、B、D错误；组合体比天宫二号质量大，动能Ek＝mv变大，选项C正确。

2答案

C 【真题示例2】 (多选)(2017·全国卷Ⅱ，19)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间

的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中(

) A.从P到M所用的时间等于 B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大

4C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小 D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

1解析

由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，21从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A4错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。

答案

CD 练习

1.如图所示，A为地球赤道表面的物体，B为环绕地球运行的卫星，此卫星在距离地球表面的高度处做匀速圆周运动，且向心加速度的大小2为a，已知地球同步卫星的轨道半径为6.6R，R为地球的半径，引力常量为G。则下列说法正确的是(

) 3A.地球两极的重力加速度大小为a B.物体A的线速度比卫星B的线速度大

2T0RR2a3aRC.地球的质量为 D.地球的第一宇宙速度大小为

G2MmBv2B解析

卫星B绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G2＝mBa＝mB，又r0r0r03Mm′9aR96aR＝R，对于地球两极的物体有G2＝m′g，解得M＝，g＝a，vB＝，A、C错误；2R4G42物体A与地球同步卫星的角速度相等，根据v＝ωr知，同步卫星的线速度大于物体A的线2Mmv2速度，又由G2＝m可知，同步卫星的线速度小于卫星B的线速度，故物体A的线速度小于rrGMm0v212卫星B的线速度，B错误；由2＝m0，并结合GM＝gR，可得地球的第一宇宙速度为v1＝RRgR＝3aR，D正确。

2答案

D 2.如图所示，A为近地气象卫星，B为远地通讯卫星，假设它们都绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，卫星A距地面高度可忽略不计，卫星B距地面高度为h，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是(

)

A.若两卫星质量相等，发射卫星B需要的能量少

B.卫星A与卫星B运行周期之比为R3（R＋h）3

C.卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为D.卫星A与卫星B运行速度大小之比为R＋h

RR＋h

R解析

虽然卫星B的速度小于卫星A的速度，但卫星B的轨道比卫星A的高，所具有的引力势能大，所以发射卫星B需要的能量大，A错误；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即卫星A与卫星B运行周期之比为R3GMmGM3，则B错误；由2＝ma，则a＝2，所以卫星A与卫星B运行的加速度（R＋h）rr22（R＋h）GMmmv大小之比为，C错误；由2＝，得v＝2RrrGM，卫星A与卫星B运行速度大小r之比为答案

D R＋h，所以D正确。

R3.2016年10月17日，“神舟十一号”载人飞船发射升空，运送两名宇航员前往在2016年9月15日发射的“天宫二号”空间实验室，宇航员计划在“天宫二号”驻留30天进行科学实验。“神舟十一号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图所示，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴。“神舟十一号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的“天宫二号”实施对接。下列描述正确的是(

) A.“神舟十一号”在变轨过程中机械能不变

B.可让“神舟十一号”先进入圆轨道Ⅲ，然后加速追赶“天宫二号”实现对接

C.“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大

D.“神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等

解析

“神舟十一号”飞船变轨过程中轨道升高，机械能增加，A选项错误；若飞船在进入圆轨道Ⅲ后再加速，则将进入更高的轨道飞行，不能实现对接，选项B错误；飞船轨道越低，速率越大，轨道Ⅱ比轨道Ⅲ的平均高度低，因此平均速率要大，选项C正确；由开普勒第三定律可知，椭圆轨道Ⅱ上的运行周期比圆轨道Ⅲ上的运行周期要小，D项错误。

答案

C 4.2016年2月11日，美国自然科学基金召开新闻发布会宣布，人类首次探测到了引力波。2月16日，中国科学院公布了一项新的探测引力波的“空间太极计划”。由中山大学发起

的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年7月正式启动。计划从2016年到2035年分四阶段进行，将向太空发射三颗卫星探测引力波。在目前讨论的初步概念中，天琴将采用三颗全同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、高度约10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行探测，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”。则下列有关三颗卫星的运动描述正确的是(

) A.三颗卫星一定是地球同步卫星 B.三颗卫星具有相同大小的加速度

C.三颗卫星的线速度比月球绕地球运动的线速度大且大于第一宇宙速度

D.若知道引力常量G及三颗卫星绕地球运转周期T可估算出地球的密度

解析

三颗卫星高度远大于地球同步卫星的高度，一定不是地球同步卫星，选项A错误；根据牛顿第二定律可得三颗卫星的加速度大小均为a＝GM，选项B正确；根据v＝r2GM可知r三颗卫星的线速度比月球绕地球运动的线速度大但小于第一宇宙速度，所以选项C错误；若GMm2π2知道引力常量G及三颗卫星绕地球运转周期T，由2＝mr，可估算出地球的质量，rT但不知地球的半径R，所以不能求出地球的密度，选项D错误。

答案

B 归纳总结

1.人造卫星运动规律分析“一、二、三”

2.分析卫星变轨应注意的3个问题

(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定的新轨道上的运行速度变化由v＝GM判断。

r(2)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度

巩固提升

1.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，小行星与地球绕太阳运动都看做匀速圆周运动．下列说法正确的是(

) A．太阳对各小行星的引力都相同

B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值答案

C M·m2π解析

各小行星质量不一定相同，太阳对小行星的引力可能不同，A错误；由G2＝mr()2rT知，T＝2πv＝v2r3M·mGM，则小行星的运行周期大于一年，B错误；由G2＝ma＝m知，a＝2，GMrrr[来源学科网ZXXK][来源学科网ZXXK]

GM，故C正确，D错误．

r2．火星探测器绕火星近地做圆周轨道飞行，其线速度和相应的轨道半径为v0和R0，火星的一颗卫星在圆轨道上的线速度和相应的轨道半径为v和R，则下列关系正确的是(

) vv1RRA．lg()＝lg()

B．lg()＝2lg() v02R0v0R0vv1R0R0C．lg()＝lg()

D．lg()＝2lg() v02Rv0R答案

C vMm解析

做圆周运动所需的向心力由万有引力提供，故有：G2＝m①

RRv0MmG2＝m②R0R02[来源:Z。xx。k.Com]2

v2R0v2v1R0R0由①②两式得：2＝，由对数运算可得：lg(2)＝lg()，所以lg()＝lg()．故C正确．

v0Rv0Rv02R3．2016年10月19日凌晨，我国神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，对接时轨道高度是3.93×102 km，地球同步卫星的轨道高度是3.59×104 km，则(

) A．天宫二号的周期大于地球自转周期

B．对接后的它们的线速度介于近地卫星与同步卫星之间[来源学科网]

C．为了完成对接，神舟飞船要在较高的轨道上减速飞行

D．漂浮在天宫二号内的水滴不受地球的吸引答案

B 4．2016年10月23日早上，天宫二号空间实验室上搭载的一颗伴飞小卫星(伴星)在太空中[来源学&科&网]

成功释放，并且对天宫二号和神舟十一号组合体进行了第一次拍照．“伴星”经调整后，和“天宫二号”一样绕地球做匀速圆周运动．但比“天宫二号”离地面稍高一些，那么(

) A．“伴星”的运行周期比“天宫二号”稍小一些

B．从地球上发射一颗到“伴星”轨道运动的卫星，发射速度要大于11.2 km/s C．在同一轨道上，若后面的卫星一旦加速，将与前面的卫星相碰撞

D．若伴星失去动力且受阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与“天宫二号”相碰撞

答案

D Mm4π2解析

根据万有引力提供向心力，有G2＝m2r，得T＝

rT4π2r3，“伴星”比“天宫二GM号”的轨道半径高一些，所以“伴星”的运行周期比“天宫二号”稍大一些，故A错误；如果发射速度大于11.2 km/s将脱离地球引力的束缚，不可能成为“伴星”轨道的卫星，故B错误；在同一轨道上，若后面的卫星一旦加速，将做离心运动到更高的轨道上，不会与前面的卫星碰撞，故C错误；若“伴星”失去动力且受阻力作用，在原轨道上速度减小，万有引力大于所需要的向心力，轨道半径将变小，则有可能与“天宫二号”相碰撞，D正确．

5．(多选)随着地球资源的枯竭和空气污染如雾霾的加重，星球移民也许是最好的方案之一．美国NASA于2016年发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，与地球的相似度为0.98，并且可能拥有大气层和流动的水，这颗行星距离地球约1 400光年，公转周期约为37年，这颗名叫Kepler452b的行星，它的半径大约是地球的1.6倍，重力加速度与地球相近．已知地球表面第一宇宙速度为7.9 km/s，则下列说法正确的是(

) A．飞船在Kepler452b表面附近运行的速度小于7.9 km/s 5B．该行星的质量约为地球质量的1.6倍

C．该行星的平均密度约是地球平均密度的

8D．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度

答案

CD MmGM解析

忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式：G2＝mg，g＝2，这颗RR行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.6倍，所以它的质量是地球的2.56倍．要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙速度．第一宇宙速度v＝gR，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径大约是地球的1.6倍，所以这颗行星的第一宇宙速度是地球的1.6倍，而地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，故A、B错误；该行星的半径gR2GM3g大约是地球的1.6倍，它的质量是地球的2.56倍，由：ρ＝＝＝，这颗行星的重V434πGRπR3力加速度与地球相近，则密度与半径成反比，它的半径大约是地球的1.6倍，则该行星的平5均密度约是地球平均密度的，故C正确；由于这颗行星在太阳系外，所以航天器的发射速8

度至少要达到第三宇宙速度，故D正确．

6．(多选)如图所示，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道Ⅲ，开始对月球进行探测(

) A．卫星在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小

B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点速度比在轨道1上经过P点大

C．卫星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上短

D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大

答案

ACD 7.在轨运行26年的哈勃太空望远镜，曾拍摄到天狼星A和天狼星B组成的双星系统在轨运动图象，如图所示．它们在彼此间的万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀速圆周运动．已知mA＝bmB，且b>1.则下列结论正确的是(

) A．天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反

B．天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在质心连线上

C．天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1 D．天狼星A和天狼星B的线速度大小之比为1∶b

答案

D 解析

双星系统由彼此之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力，二者角速度相同，且绕行方向必相同，公共圆心必须在质心连线上，两星才能稳定运行，选项A、B错误；根v1a11据a＝Rω2，v＝ωR，知＝＝，选项C错误，D正确．

v2a2b8．(多选)“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R1、R2；地球表面重力加速度为g.则(

) G1gG2R22A．月球表面的重力加速度为 B．月球与地球的质量之比为

G2G1R12C．月球与地球的第一宇宙速度之比为G1R1

G2R2G1R2

G2gD．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2π答案

BD G1G2G2g解析

“玉兔号”的质量m＝g，月球表面的重力加速度g月＝m＝G，故A错误；根据1MmgR2M月g月R月2G2R22mg＝GR2得M＝G，＝＝2，故B正确；根据v＝M地g地R地2G1R1v月g月R月GM＝gR，＝Rv地g地R地

＝G2R2M·m2π2，故C错误；根据G2＝mR(G1R1RT)得T＝4π2R3GMm2，根据mg＝GMR2得GM＝gR，4π2R月3＝2πg月R月2R月＝2πg月G1R2故DG2g，所以嫦娥三号绕月球表面做匀速圆周运动的周期T＝正确．