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第十七章《勾股定理》

【课程标准解读】

掌握勾股定理，会用合适的方法验证勾股定理；能利用勾股定理求直角三角形的边长；理解勾股定理的逆定理，并会应用其判断直角三角形；利用勾股定理解决与直角三角形有关的实际问题。本单元内容在中考命题中是热点之一，主要考查利用勾股定理解决简单的实际问题及其判断三角形的形状等，题型多样，填空题、选择题、解答题、综合题均有，常与直角三角形、三角函数、特殊平行四边形、圆等知识综合在一起进行考查。

【知识要点解析】

1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，则ca2b2，222bc2a2，ac2b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

【典型例题】（2013年佛山市，7，3分）如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( ) A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m 【答案】选：B．

A 第7题图

C B 【变式训练】．（2013山东滨州，14，4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为______________．

【答案】：x=26．

【解析】利用勾股定理，可得ACAB2BC2725226

【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，按照题设画出图形，确定斜边和直角边再计算即可. 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。

222

1

【典型例题】( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c-a-b +|a-b|=0,则△ABC的形状为______ 【解析】由关系c-a-b +|a-b|=0，得c-a-b=0,即a+b= c，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”及勾股定理逆定理的应用. 【变式训练】（2012江苏省盐城市一摸）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，222222222222AC=4BC，若CD的长为5，则四边形ABCD的面积为 ；

A

【答案】：10 B C

D

【解答】:作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90° ∴△ABC≌△ADE(AAS) ∴BC=DE，AC=AE，

设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a，

在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即(3a)2+(4a)2=52，

解得:a=1，

∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=12×(DE+AC)×DF =12×(a+4a)×4a =10a2 =10.

【点评】

3：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

【典型例题】7.

（2011四川凉山，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a＋b＝c”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式： . 【答案】：如果三角形三边长a，b，c，满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

【解答】解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a＋b＝c，这个三角形是直角三角形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

2 222222222222222

【点评】命题都能写成“如果……，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中．

【变式训练】.

下列命题中，真命题是（

）

A、周长相等的锐角三角形都全等

B、周长相等的直角三角形都全等

C、周长相等的钝角三角形都全等

D、周长相等的等腰直角三角形都全等

【答案】选D．

【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：

应角相等，对应边相等，故全等，真命题．

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明确全等三角形的对应边相等，对应角相等．全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验．

【变式训练】: 你能根据图形所给的信息验证勾股定理吗？请写出证明过程．

【解答】解：根据题意，中间小正方形的面积c=（a+b）-4×即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．

【点评】本题考查了学生对勾股定理的证明和对三角形、正方形面积公式的熟练掌握和运用．根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．

5：勾股数

22，故周长相等时，等腰直角三角形的对122×ab=a+b；

2

3

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③用含字母的代数式表示组勾股数：n21,2n,n21（n2,为正整数）；

2n1,2n22n,2n22n1（为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，为正整数）

【典型例题】：给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有 ．

【答案】应填②．

【解答】：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1(81)21且40=，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，2对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．

故应填②．

【点评】由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a+b=c简洁的多，望同学们掌握之．

【变式训练】.（2013四川巴中，19，3分）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为

5 ．

【答案】是：5．

【解析】解：∵∴a﹣6a+9=0，b﹣4=0，

解得a=3，b=4，

∵直角三角形的两直角边长为a、b，

∴该直角三角形的斜边长=故答案是：5．

【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．

4 2222，

==5．

【热点专题分析】

题型一：直接考查勾股定理进行计算解题。

例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的长

⑵已知AB17，AC15，求BC的长

【分析】：直接应用勾股定理a2b2c2

解：⑴ABAC2BC210 ⑵BCAB2AC28

【点评】

例题2．如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米?

【解答】:设放入长方体盒子中的最大长度是x cm，

根据题意，得x=8+6+(103)=64+36+300=400. 所以x=20 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是25－20=5(cm). 【点评】；本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．

例题3：如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝. 吸管

B 2222A 10 图5 6

5

【答案】为：2．

5

【解答】解：如图所示：连接DC，CF，

由题意：ED=3，EC=5-1=4 CD=3+4=25=5，

CF=5+10=125，

∴吸管口到纸盒内的最大距离= ∴h=13-11≈2cm ，

故答案为：2．

【点评】本题要弄清楚h最短时管子的摆放姿势，然后根据勾股定理即可得出结论．本题中，要求露出外面的管长h的最短值，其实相当于求一个3×4×10长方体的对角线（此时，h最小），据此解答即可．

例题4：将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱

形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取

值范围是（

）．

A．h≤17cm

B．h≥8cm

C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【答案】选D．

【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

∴h=24-8=16cm；

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，

在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB= ∴此时h=24-17=7cm，

所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．

故选D．

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．

【变式训练】．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（

）

6 2222222

=17，

S1

S2

【答案】B．

【解析】根据等腰直角三角形、勾股定理先求出面积分别为S1的边唱是大正方形对角线的S2正方形的边长组成直角三角形斜边长是大正方形对角线的一半. 满分解答：边长为6的大正方形中，对角线长为6662. ∴面积为S1小正方边长为6222A．16 B．17

C．18 D．19 1，312=8；小正方S2= 22，面积S1=（22）3121（62）9，∴S1+S2=8+9=17.故选B. 22【方法指导】本题主要考查正方形性质.熟悉正方形有关性质是解题的关键. 题型二：应用勾股定理建立方程

例题1.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解

解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4

ABDBC

⑵设两直角边的长分别为3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

⑶设两直角边分别为，，则1ab60Sab302ab17，a2b2289，可得cm2

例题2.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长

7

CD12EAB

分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来

解：作DEAB于E，

12，C90

DECD1.5

在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAED

ACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例题3.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

CAB

【答案】：6 【解答】

8