构建知识体系教学设计(第一课时)

数学学科《勾股定理》

教学设计

学 校：西吉县实验中学

姓 名：马

娟

萍

选用教材：人教版数学八年级下册

课

题

17.1 勾股定理

所用教材

授课对象

义务教育教科书人教版数学八年级下册

八年级

授课类型

新授课

教学课时

3课时

教学设计思路分析

《勾股定理》是新课标人教版八年级下册第十七章第一节的内容,教

材

分

析

学

习

目

标

是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的.在教材中起到承上启下的作用，为接下来学习勾股定理的逆定理作了铺垫和以后学习四边形和解直角三角形奠定基础.勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法,是培养学生具有良好思维品质的载体.它在数学的发展过程中起着重要的作用,是数与形结合的优美典范. 1.

经历勾股定理的探索过程，理解并掌握勾股定理；

2.

学会运用勾股定理进行简单的计算；

3.

发展合情推理能力,并体会数形结合、由特殊到一般和转化的思想方法. 勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论．在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关学

情

分

析

系，进而得出三边之间的关系．但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难．并且在学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理也存在着困难，而解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积．因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理．

教学设计方案

教

学

目

情感目标

标

教

学

内

容

教

重

点

学

重

难

点

在教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力、动手能力、探索能力为探索并证明勾股定理．

本节课是人教版数学八年级下册第十七章《勾股定理》第一节的内容，分3课时完成，本节课《勾股定理》为第1课时. 知识目标

能力目标

经历勾股定理的探究过程． 能用勾股定理解决一些简单问题．

了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．

难

点

勾股定理的探究和证明．

教

学

方

法

教法

重点的教学思想.尽量为学生创设做数学、玩数学的情境，让学生从学会到会学，使学生真正成为学习的主人. 动手实践、自主探索、合作交流。在引导分析时，给学学法

生留出思考的空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清，让学生由学会走向会学.

教学过程

教学环节

师生活动

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．图1就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三角形有三个角和三条边．

创设情境 复习引入

图1 问题1

三个角的数量关系明确吗？

三条边的数量关系明确吗？

师生活动

教师引导，学生回答. 设计意图：

回顾三角形的内角和是180°以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不等关系引导学生思考，三角形三边之间是否存在等量关系．

我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质．研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”．

直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？

这就是我们要研究的问题．

问题2 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．三个正方形A，B，C的面积有什么关系？

师生活动

学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积．

追问

由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长观察思考之间有怎样的特殊关系？

归纳出：探究定理

师生活动

教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，

等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图：

从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化．

问题3 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系？

追问

正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

师生活动

学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．可求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图：

为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体

会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．

问题4 通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动

教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为

，斜边长为

，那么

设计意图：

在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的．

问题5 以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，我们的猜想仍然成立吗？师生活动

要求学生通过独立思考，用

表示．如图，用“割”的方法可得

；用“补”的方法可得

．这两个式子经过整理都可以得到

，即直角三角形

观察思考探究定理

两直角边的平方和等于斜边的平方．中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”．

设计意图：

从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论．

问题6 历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．

师生活动

教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）．我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．

设计意图：

通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．

例1 画一个直角三角形ABC，C90，它的两直角边分别是AC3cm,BC4cm，量一量它的斜边AB是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？

师生活动

学生操作，教师个别指导．

设计意图：

通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性．

例2 在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．

初步应用巩固新知

师生活动

学生计算，教师检验．

设计意图：

勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的．所以勾股定理本质上是反映面积关系的．如果直角三角形的两条直角边长分别为

,斜边长为

，那么

．通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：

；

；

．在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方

程解决问题，渗透方程思想．

例3 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？

师生活动

学生观察、思考、计算，教师检验．

设计意图：

设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力．

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）勾股定理总结的是什么数量关系？

归纳小结反思提高

（2）勾股定理有什么作用？

（3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．

设计意图：

让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．

布置作业

（1）教材第28页第1题；

（2）通过互联网收集定理的多种证法并自主探究定理的证明．

板书设计

17.1勾股定理

勾股定理：

例1

例2

例3 课后反思