复习参考题全国优秀课堂实录

璧山中学校教学案

年级

复备人

课题内容

高一

学科

教材版本

数学

人教版

主备人

章节

饶遵疆

必修四第二章

2.6 线段的定比分点公式与向量的应用

课标解读及教学设计初稿

复备记录

2.6 线段的定比分点公式与向量的应用

(适用对象：A) 【学习目标】

1.记住线段的定比分点公式，并能用于解决问题；

2.记住中点中标公式、三角形的重心坐标公式；

3.记住三角形“五心”的向量形式；

4.记住三角形和平行四边形面积的向量形式，并能用于解决问题；

5.记住向量与面积比定理，并能用于解决问题。

【课前自学】

阅读下面的材料，独立完成后面的课前自测题：

设点P是直线PP12上异于P1、P2的点任意一点，若存在一个实数1，使叫做点P分有向线段PPP点叫做有向线段PPPP1PP2，则12所成的比，12的以定比为的定比分点。

0；

当点P在线段PP12上时1；

当点P在线段PP12的延长线上时10。

当点P在线段P2P1的延长线上时是实数且PP设P1x1,y1、P2x2,y2，Px,y是有向线段PP12的分点，1PP2，则

xyx1x2OPOP21OPtOPOP111tOP2y1y2111t1

。1以上公式称为线段的定比分点公式。

由线段的定比分点公式得中点坐标公式: x1x2x2设P，为线段的中点，则。

PPx,y、Px,yMx,y12111222yy1y22三角形重心坐标公式：

ABC三个顶点的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则ABC的重心坐标是

xxxyy2y3G123,1。

33

三角形“五心”的向量形式

设O为ABC所在平面内一点，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则

（1）O为ABC的外心OAOBOC；

（2）O为ABC的重心OAOBOC0；

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA；

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0；

（5）O为ABC的旁心aOAbOBcOC。

注：三角形ABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且OG:GH1:2。

外心、重心、垂心所在的的直线称为欧拉线。

面积的向量形式：

平面上O,A,B三点不共线，设OAax1,y1，OBbx2,y2，OA与OB的夹角为，则

（1）三角形面积的向量式：SOAB11absin(ab)2ab2221x1y2x2y1

2（2）平行四边形面积（以OA,OB为邻边的平行四边形）

Sabsin(ab)2ab

向量与面积比定理：

2x1y2x2y1

已知O是ABC内的一点，且存在x,y,zR，使得xOAyOB+zOC0，则

SOAB：SOAC：SOBCz:y:x

课前自测题1：已知A2,3,B1,5，且AC1CB，求点C的坐标。

2

课前自测题2：已知E为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PAPBPC0，设APPE，则的值为（ ）

123A.2

B.1

C.

D.

23

课前自测题3：已知O是正ABC内部的一点，OA2OB3OC0，则OAC的面积与OAB的面积之比是（ ）

A.331 B. C.2 D.

322

点拨：利用坐标运算来解决向量相等，向量的加法来解决几何问题。

【课堂教与练】

【例1】已知ABC的三顶点坐标分别为A1,1,B5,3,C4,5，直线l//AB，交AC于D，且直线l平分ABC的面积，求点D的坐标。

点拨：本题是平面几何知识与定比分点分点公式综合运用的问题。

【例2】设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac，ac，则bc的值一定等于（ ）

A.以a,b为两边的三角形的面积 B.以b,c为两边的三角形的面积

C.以a,b为邻边的平行四边形的面积 D.以a,b为邻边的平行四边形的面积

点拨：平面向量的数量积

23ABAC，则ABM与ABC的面积之比为 。

552121（2）设P,Q为ABC内的两点,APABAC,AQABAC，则ABP与5534ABQ的面积之比为（ ）

1411A. B. C. D.

5354【例3】（1）已知AM点评：（1）（2）以向量为载体，考查向量的运算法则：平行四边形法则以及三角形的面积公式。

【例4】在ABC中，ACABACBA2AMBC，那么动点M的轨迹必通过ABC的（

）

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

点拨：熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系，三角形外心的定义是解题的关键。

【课后反思】

【课后基础练习】

每课时教学反思