复习参考题教学活动设计方案

平面向量——小结

一、教学目标

知识与技能目标：

通过对本章知识点的梳理，进一步体会向量的有关概念的特征，系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质，形成知识点的网络框架。

过程与方法目标：

体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法，进一步理解向量的“工具”性作用

情感、态度、价值观：

通过运用向量解决实际问题，体会“数学来源于生活，服务于生活”,从而增加学习数学的兴趣。

二、教学的重点和难点：

重点：系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质。

难点：运用向量解决几何问题。

三、教学方法：

主要采取的教学方法：引导启发法，讲授法。

四、教学过程

（一）新课导入

生活当中存在一些不同于数量的量，比如力、位移、速度等等。这些量既有大小、又有方向，为了研究这些量，数学把这些既有大小、又有方向的量抽象出来，称之为向量，为了让向量能够更好的服务与生活，我们规定了向量的线性运算和数量积运算。下面让我们一起来将本章所学的向量知识梳理一遍。

（二）新课讲授

1，向量及其基本概念：

向量：既有大小、又有方向的量叫做向量。

向量的大小叫向量的模。

长度为零的向量叫做零向量，长度为一的向量叫做单位向量。

方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）

2.线性运算：

加法：平行四边形法则（共起点），三角形法则（首尾相接）

减法：三角形法则（共起点，箭头指向被减向量）

数乘：(1)|λ

|＝|λ||

|；

(2)当λ＞0时，λ

的方向与

的方向相同；当λ＜0时，λ

的方向与

的方向相反；当λ＝0时，λ

＝

＝|

|cos θ(θ为a与b的夹角) 3.向量的数量积：

·

||

·规定

＝0，

在

数量积的几何意义是

的模与

方向上的投影的积

4.基本定理：如果

，

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量

，有且只有一对实数λ1，λ2，使

＝

λ1

λ2

. 5.坐标表示：

＝

x

=（x,y）

6.向量的应用：“三部曲”

（三）典型例题

例1 已知向量

，

,

,其中

=（1,0）

=（0,1）.

； （2）

的夹角

的余弦值. 求：（1）

与

解：（1）

=

= 3(1,0) – 2(0,1)=(3,-2)

=

= 4(1,0) + (0,1)=(4,1)

=(3,-2)·

(4,1)=10

=

=

(2)

=

=

cos

=

==

例2

如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

证明

方法一

设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，

→→→→→→∵DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF) →→→→→→→→＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF

＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45°

＝－a＋a2＋a(1－a)＝0

→→∴DP⊥EF，即DP⊥EF. 方法二

如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ<2)，则D(0，1)，P(→∴DP＝(→→∴DP·EF＝→→212122λ－λ＋λ－λ＝0，

22222222λ，λ)，E(λ，0)，F(1，λ). 2222→

2222λ，λ－1)，EF＝(1－λ，λ)2222. ∴DP⊥EF，即DP⊥EF. 小结：

（四）巩固训练

（五）课堂小结

1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧. （六）作业

完成学法大视野的课时作业

五、板书设计

标题

例1 当堂训练

课堂小结

知识梳理

例2

布置作业