小结特级教师教学实录

平面向量复习——数量积及应用举例

授课人：翟安胜

教学目标

1．掌握平面向量的数量积的运算法则及运算律。

2．掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量的数量积坐标表示，掌握向量垂直的条件。

教学重难点

教学重点：平面向量的数量积的运算法则、运算律及应用。

教学难点：求两向量的夹角或已知夹角求参数,利用两向量垂直的条件求参数. 教学分析

向量这部分内容为必修教材中的新增知识。由于其应用的广泛性（如相关学科中的物理等），故引进高中学习，并成为考试的重点，热点之一。尤其是运用向量知识分析解决问题更为人们一致看好，下面着重对应用向量知识，分析解决问题举例如下。

教学过程

一知识梳理

1.平面向量的数量积

(1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作 OA=a, OB=b,则∠

AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b;当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向

(2)a与b的数量积

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则把数量|a|·|b|·cos θ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a|·|b|·cos θ

. (3)规定0·a=0. (4)一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a与b的夹角,则|a|cos θ叫做a在b的方向上的投影,|b|cos θ叫做b在a 的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量. (5)a·b的几何意义

a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 2.向量的数量积的性质

设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则

(1)e·a=a·e=|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0

. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|.

当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2.

. (4|a·b|≤|a|·|b|. 3.向量的数量积的运算律

(1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R). (3)(a+b)·c=a·c+b·c.

4.平面向量的数量积的坐标表示



(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2

. (2)若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,

. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0

二

数量积及应用举例的命题方向

命题方向一

平面向量模的问题

典例1

已知平面向量a与b的夹角等于 ,若|a|=2,|b|=3,则|2a-3b|= (

) A. 57

B. 61

C.57

D.61 做一做

1

(2017课标全国Ⅰ理,13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=

2 已知平面向量a,b2的夹角为3 ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|=

命题方向二

平面向量的夹角问题

典例2

已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为6 ,则实数m=

做一做

(2017课标全国Ⅲ,13,)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=

命题方向三

平面向量的垂直问题

典例3

(1)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 AB=2a, 

AC=2a+b,则下列结论正确的是 (

) A.|b|=1

B.a⊥b C.a·b=1

D.(4a+b)⊥BC 

(2)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k= (

) 9A.-2 



B.0

C.3

D. 

做一做

2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a

垂直,则m=

.

课堂小结

1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，化归、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．

课后作业

1若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是

2 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-

. (1)求sin A的值; 在

方向上的投影.

(2)若a=4

,b=5,求角B的大小及向量