复习参考题优秀教案板书设计

二轮复习之三角恒等变换

一、教学目标

（1）知识、技能目标：通过这节课的复习，使学生进一步巩固同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式、倍角公式及降幂公式的相互区别与练习；会用这些公式解决有关问题。

（2）过程、方法目标：通过这节课的复习，使学生学会求三角函数值的一般步骤，求三角函数最值的方法，学会整体代换、换元法、角的组合技巧等。

（3）情感、态度、价值观：通过这节课的复习，使学生学会用联系的观点看问题，学会透过现象看本质，善于将已知与未知联系起来，做到有目的地解决问题。

有关三角函数的问题，或多或少的总会涉及三角变换，尤其是对三角函数的化简、求值与证明，若能熟练、灵活地使用三角变换，常能使问题迎刃而解。

这一讲，重点是三角变换中的组合变换、函数变换、三角公式的灵活应用。化归意识和能力的培养。

二、基本公式

（1）同角三角函数基本关系：

sin2cos21

sintancos

（2）正弦、余弦的诱导公式：

①诱导公式可归结为k×90°±α(k∈Z)的三角函数，用“奇变偶不变，符号看象限”记忆解释，即k为奇数时的三角函数值等于α的异名（正弦与余弦互换，正切与余切互换）函数值，前面加上把α看成锐角是原函数值的符号；k为偶数时的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上把α看成锐角是原函数值的符号。

③利用诱导公式化简或求值时基本步骤：Ⅰ、化负角为正角；Ⅱ、化大于360为0~360；Ⅲ、化0~360为0~90

（3）一些公式之间的关系

换为



T= T=

T2=

相除

相除

相除

S＝ 换为

S＝

S2＝



C2＝C＝C＝

常见变形：tanα±tanβ= 降幂公式：

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础。

（4）常见角的组合

2()() 2()() ()()

442＋－＝（－）＋（－） ＝（－）－（－）

222()

（5）常用的辅助角公式：sinxcosx2sin(x4)2cos(x4)

sinx3cosx2sin(x

一般情况下的辅助角公式：

3)

3sinxcosx2sin(x)

6AsinxBcosxcosAA2B2A2B2sin(x),(其中sin,tanB)AA2B2BAB22,

A2B2AsinxBcosx三、例题讲解（以调动学生的思维为主，教师组织、引导）

sin(2)例1 （1）已知cos(2－）＝－，（2）已知sin192,且,(0,),求cos()

321010sin(),sin,(0,),求tan()

2102【分析】（1）关键思路在于cos()cos(2)(2)

（2）关键思路在于insin()10310

sin()，又cos210将sin()10sin()展开后，两边同除以cos()得结果。

2【答案】（1）

175；（2）

227

例2已知tan15，cos，，

(0,)。

35（1）求tan()的值；

（2）求函数f(x)2sin(x)cos(x)的最大值。

【分析】（1）由根据同角两角的基本关系得tan2，再用两角和的正切展开即可；

（2）由根据同角两角的基本关系得sin10310、cos，将f(x)展开1010f(x)5sinx易得结果

【答案】（1）1；（2）5

7例3已知sin(x20)cos(x10)cos(x10)，求tanx

2cos10osin20o【分析】直接将已知等式展开可得tanx，

ocos20再将cos10ocos(30o20o)展开化简。

【答案】3

三、课堂练习（以学生的训练为主，教师点拨、引导）

练习1 已知f()sin2sin2()sin2()，其中α、β是适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β为何值时，f()为与无关的定值。

【分析】降次展开f()31(sin2sin2)sin2(1cos2cos2)cos2，22若f()为与无关的定值，则sin2sin20且1cos2cos20

【答案】不存在

π练习2已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是(

) 4A．－1

C．2

【答案】C

B．1 D．4

11练习3已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan β＝(

) 437A.

111C．－

13【答案】C π1练习4已知－

11B．－

71D.

13xxxx2sincoscos22222的值．

(2)求1tanxtanx7108【答案】(1) ;(2) 

51253sin2结束语：三角变换涉及的公式很多，变换的方法也很灵活，但无论怎样变换，它们都是围绕着三条主线展开的，即变换角、变换函数、变换式子结构。在角的变换上，和角、差角、倍角、半角与单角是相对的概念，它们的变换，关键在于深入观察，分析联系，从而进行适当组合、变形。在函数名的变换上，化异为同、降次、巧用1的变换等。在式子结构的变换上，常需分析、探索等式左、右的关系，条件与结论可能存在的联系，通过化归实现“对接”。