信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象多媒体教学设计及其点评

《正切函数的性质和图象》教学设计

风陵渡中学

任健波

课

题：§1.4.3正切函数的性质和图象（1）

教学分析：

本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.

通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果. 由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.

教学目标：

1.知识与技能: 结合正弦函数和余弦函数的学习，能根据任意角的正切值和正切线分析得出正切函数图像的画法，理解和掌握正切函数的有关性质，并能运用图像和性质解决有关的简单问题。 2.过程与方法： 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，逐步渗透数形结合的思想，继续培养学生的作图、读图、识图的能力和良好的数学学习习惯．

3.情感态度价值观: 在教学中使学生了解问题的来龙去脉,体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论,强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透。

教学重点：用单位圆中的正切线探究正切函数的性质．

教学难点：用单位圆中的正切线作正切函数的图象．

重点难点的突破方法：

由于图像能直观形象的反映出函数的性质，根据性质能够完善和理解图像，所以在本节课中可以通过数形结合的强调使用，降低学生的理解难度，从而达到对正切函数的图像和性质的理解和使用。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

导入新课

(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图

象与性质？由此展开新课.

探究准备（教师提问，学生口答，同时幻灯片演示）

1.函数ysinx,x0,2的图象的画法：

第一步：在直角坐标系的x轴负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. 第二步：在单位圆中画出对应于角0,6，，,…，2π的正弦线正弦线32（等价于“列表”

）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是函数图象上的点（等价于“描点”

）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数ysinx,x0,2的图象．

2.作函数ysinx,x0,2图像的

五个关键点是 、 、 、 、 .

3.任意角的正切：

在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，

那么：_______叫做的正切，记作tan，

即tany(x0)。

x4.正切线：

如上图，过点A（1,0）作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边（当为第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点T。根据正切函数的定义，借助于有向线段OA、AT，我们有ytanAT,则有向线段AT叫做角的正切线。

x

探究新知1：

（正切函数的性质。学生阅读课本P42~P43独立完成探究1~5的内容）

教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. 探究1.由任意角的正切，探究正切函数的定义域？

根据正切函数的定义tanα=y,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,x这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z,所以2,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初22学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质. 探究2.由诱导公式，探究正切函数的周期？

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。

由诱导公式 tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z

2 可知,正切函数是周期函数,周期是π. 这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. 探究3.由函数奇偶性的定义，探究正切函数的奇偶性？

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)f(x)

（f(-x)f(x)），那么函数f(x)就叫做偶（奇）函数。

由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z

2

可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(k,0)k∈Z. 2（-，）探究4.根据正切线的变化规律，探究正切函数在内的单调性？

22通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)内是增函数,22又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数. 22探究5.根据正切线的变化规律，探究正切函数的值域？

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于向无限延伸.因此,tanx在(2且无限接近2时,正且无限接近时,正切线AT向Oy轴的正方22,)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 22因此,正切函数的值域是实数集R. 探究新知2：（正切函数的图像）

思考1： （-用描点法作函数ytanx,xx tanx 思考2：

……

……

33

-3

-4，）的图像，可取哪些点？ 220

-6

6

4

1 3

……

……

-1 -33

0 33

3

（-如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出函数ytanx,x（，tan），

同学们完成其他点的平移。

教师用幻灯片给出用正切线描点 （-，）探究6. 利用正切线画出函数ytanx,x的图像。

22y

3，）的图像。 2232

-4

0

X 4

2

探究7：正切曲线的关键要素：______________________________ 教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数)的简图.学生可看出有三个点很关键:(,-1),(0,0),(,1),还2244有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两44条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 22y=tanx,x∈(,

提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子. 活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的2无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象2是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(k,0),k∈Z. 2 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.

探究典例：

1.已知函数ytanx,(x2k,kZ) ,结合正切函数图象

x, 若 ,求y的取值范围. 34

变式：若x0，，,求y的取值范围. 22

2.

结合正切函数图象写出使不等式1+tanx ≥0成立的x的值的范围。

变式：

求函数y= tanx3的定义域.

活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性. 图4 图5 解:由tanx-3≥0,得tanx≥3利用图4知,所求定义域为［kπ+,

,kπ+)(k∈Z). 32点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练

根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0. 解:(1)tanx≥-1, ,kπ+),k∈Z; 42(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z. 23

探究作业：

1、比较大小. ∴x∈［kπ-(1)tan138°与tan143°；(2)tan(1317)与tan() 45

2、把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.

3、求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间. 23

4、正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？

32-20 232x 探究小结：

函数

性质

图像

y＝tan x

定义域

周期

奇偶性

单调性

值域

课堂小结：

1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质. 2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

作业

课本习题1.4 A组6、8、9.