2.3.1 变量之间的相关关系优秀教学设计内容

变量间的相关关系第2课时

（一）导入新课

思路1 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 思路2 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.

脂肪含量

403530252015105020253035404550556065年龄

为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附

近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在

一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相

关关系,这条直线叫做回归直线，该直线的方程叫回归方程。

脂肪含量那么，我们该怎样来

求出这个回归方程？

请同学们展开讨论,

能得出哪些具体的

方案？

403530252015105020253035404550556065年龄（二）学生进一步看书思考：

（1）作散点图的步骤和方法？

（2）正、负相关的概念？

（3）什么是线性相关？

（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？

（5）什么叫做回归直线？

（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？

（7）利用计算机如何求回归直线的方程？

（8）利用计算器如何求回归直线的方程？

活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.

方案1:先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，测出它的斜率和截距，得回归方程。

方案2:在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同。

方案3:如果多取几对点，确定多条直线，再求这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。

如图

我们还可以找到更多的方法，但怎样的方法是最好的？

我们把由一个变量的变化去推测另一个变量的方法称为回归方法。

讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）

（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. （3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. （4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析. （5）如下图：

回归方程

：

实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最小”.

人们经过实践与研究，已经找到了计算回归方程的

斜率与截距的一般公式

以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线

b(xx)(yy)xynxyiiii1nn(xx)ii1n2i1nixi12inx2,aybx

的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P89）

（三）应用示例

思路1 例1、某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

(1)画出散点图；

（2）求线性回归直线方程；

（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额.

例2练习：观察两相关变量得如下表：

x

-1

-2

-3

-4

-5

5

3

4

2

1

y

-9

-7

-5

-3

-1

1

5

3

7

9

求两变量间的回归方程

解析见投影。

练习1：

给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：

施化肥量15 x 水稻产量330 y (1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程.

解：(1)散点图如下图．

345 365 405 445 450 455 20 25 30 35 40 45

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格: i xi

yi

1 15 330 2 20 345 3 25 365 4 30 405 5 35 445 6 40 450 7 45 455

xiyi

4 950 6 900 9 125 12 150 15 575 18 000 20 475 x30,y399.3,x7000,y1132725,xiyi87175

2i2ii1i1i1777故可得到

b=87175730399.3≈4.75,

27000730a=399.3-4.75×30≈257.

从而得回归直线方程是y=4.75x+257.

练习2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验,测得数据如下：

零件个数x（个）

加工时间y（分）

请判断y与x是否具有线性相关关系,如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程．

解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图. 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ^

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：

x55,y91.7,x=38 500,y=87 777,xiyi=55 950. 2i2i101010i1i1i1

b=xyii11010i10xy10x2xi12i55950105591.7≈0.668.

2385001055a=ybx=91.7-0.668×55≈54.96.

因此,所求线性回归方程为y=bx+a=0.668x+54.96.

练习3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：

血球体积x(mL) 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 红血球数y(百万) 6.56.39.57.56.95.99.46.26.58.73 0 2 0 9 0 9 0 5 2 ^（1）画出上表的散点图；

（2）求出回归直线的方程.

解：（1）散点图如下.

（2）xy1(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 101(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 10^设回归直线方程为y=bx+a,则b=xyii11010i10xy=0.175,a=ybx=-0.418, 10x2xi12i所以所求回归直线的方程为y=0.175x-0.148. 点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直

^

线形,再依系数a,b的计算公式,算出a,b．由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的步骤：计算平均数x,y；计算xi与yi的积,求∑xiyi；计算∑xi2；将结果代入公式求b；用a=ybx求a；写出回归直线方程．

（六）课堂小结

1．求线性回归方程的步骤：

（1）计算平均数x,y；

(2)计算xi与yi的积，求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2，

n(xix)(yiy)i1bn(4)将上述有关结果代入公式(xix)2i1aybxxyii1ni1ninxy,xi2nx2

求b,a,写出回归直线方程．

2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

（七）作业

习题2.3A组3、4,B组1、2. （八）教学反思：

本节内容来源于生活又应用于生活，相信同学通过本节学习理论上会有很大提高。