2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案推荐

2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示

一．【教学目标】

1.知识目标：

①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

二．教学重难点

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算

【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解，会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.

三．【教学过程】

知识回顾：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；

使得

给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由a，e1，e2唯一确定.



新知梳理： 思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面向量是否也有类似的表示呢? 问题探究：

如图，在光滑斜面上一个木

块受到重力G

的作用，产生两个

效果，一是木块受平行于斜面的

力F

的作用，沿斜面下滑；一是

1木块产生垂直于斜面的压力

F2，＝GF＋

F

2

叫做把重力

分解. 1G由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量

, a均可以分解为不共线的两个向量

1

e

1

和

2

e

2

，

使

a1e12e2.y

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 探究一：平面向量的坐标表示

思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),

C(3,4),D(5,7).设





j,填空：

OAi,OB(1). |i|_____,|j|______,(2).

若用

来表示

，则：

OC____,OD_____7

4

BDCjoixA3

5

|OC|______;i,jOC,OD

2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj………1

○2

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a=(x,y)………○2式叫做向量的坐标表示.与其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○．a



y A 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i=(1,0) j=(0,1)，0=(0,0). O x 3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标. 例题精讲：

例1.如图，分别用基底 ，

表示向量

并求出它们的坐标.

解：如图可知，

aAA1AA22i3j

，所以a(2,3). 同理

b2i3j(2,3);

探究二：平面向量的坐标运算

思考：已知 a(x1,y1),b(x2,y2)，你能得出 ab,ab,a的坐标吗？

提示：a

+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j),由向量线性运算的结合律和分配律可得

c2i3j(2,3);d2i3j(2,3).rrrrrr(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j,ab(x1x2,y1y2)，即 同理可得，

ab(x1x2,y1y2).总结：

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.即 a(x1,y1).例题精讲：

)，求

AB例题2：如图，已知

A(x

1,

y

2,

y

2

的坐标. 1),B(x

2.若A=（x1,y1），B=(x2,y2) ，则

解：

ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1).特点：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

A(x1,y1)

B(x2,y2)

小结：平面向量的坐标运算

O

y 1.aOAxiyj（x,y）A2.若 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则

ABx2x1,y2y1

O

xyx

当堂达标练习：

1.（2015.全国卷I）已知点A（0,1），B（3,2），向量

AC4,3则

BCA.(-7，-4) B.（7,4） C.（-1,4） D.(1,4)

2、已知AB＝(－2,4)，则下面说法正确的是(

)

A．A点的坐标是(－2,4)

B．B点的坐标是(－2,4)

C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)

3、设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝(

) A．(6,3)

B．(7,3) C．(2,1)

D．(7,2) 课堂小结：

1.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

2.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。

四．作业布置：

作业本2.3.2

x

五．教学反思

通过这节课的实验，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者”，因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。