2.1.3 相等向量与共线向量优秀教学设计

2.1.3

相等向量与共线向量

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)

教材整理2

向量的有关概念

阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题. 零向量

单位向量

长度为0的向量，记作0 长度等于1个单位的向量

方向相同或相反的非零向量

平行向量(共线向量)

向量a，b平行，记作a∥b 规定：零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量

向量a与b相等，记作a＝b

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)单位向量都平行.(

) (2)零向量与任意向量都平行.(

) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(

) →→(4)|AB|＝|BA|.(

) 【解析】

(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确. 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

向量的有关概念

判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

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(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反. 【精彩点拨】

解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素. 【自主解答】

(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小. (2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系. (3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确.依据规定：0与任意向量平行. (5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.

求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.

[再练一题]

1.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

②向量的模一定是正数；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

→→④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上. 其中正确命题的序号是________. 【解析】

①错误.由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系. ②错误.0的模|0|＝0. ③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的. →→④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上. 【答案】

③

向量的表示及应用

某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. →→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求AD的模.

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→【精彩点拨】

可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD放在→直角三角形中求得|AD|. →→→【自主解答】

(1)作出向量AB，BC，CD，如图所示：

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝→52＋102＝55(米)，所以|AD|＝55米.

1.向量的两种表示方法：

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，→→→可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等. 2.两种向量表示方法的作用：

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础. (2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

[再练一题]

2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.

→→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求|AD|. 【解】

(1)如图所示.

→→→→(2)由题意知AB与CD方向相反，∴AB与CD共线，

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→→∴在四边形ABCD中，AB∥CD.又∵|AB|＝|CD|，

∴四边形ABCD为平行四边形，

→→∴|AD|＝|BC|＝200(公里). [探究共研型]

相等向量与共线向量

探究1

向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？

【提示】

向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线. 探究2

两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

【提示】

不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.

(1)如图2-1-1，在等腰梯形ABCD中.

图2-1-1 →→①AB与CD是共线向量；

→→→→②AB＝CD；③AB>CD. 以上结论中正确的个数是(

) A.0

C.2

(2)下列说法中，正确的序号是________. →→①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；

②零向量都相等；

③任一向量与它的平行向量不相等；

→→④若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC；

⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同. 【精彩点拨】

可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断. →→→→【自主解答】

(1)①因为AB与CD的方向不相同，也不相反，所以AB与CD不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确. →→(2)因为向量AB与CD是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不B.1

D.3 4/6

一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平→→行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB＝DC，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确. 【答案】

(1)A

(2)②④

相等向量与共线向量需注意的四个问题：

(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合. (3)平行(共线)向量无传递性(因为有0). →→(4)三点A，B，C共线⇔AB，AC共线.

[再练一题]

3.如图2-1-2所示，O是正六边形ABCDEF的中心.

图2-1-2 →→→(1)分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量；

→(2)与OA的长度相等、方向相反的向量有哪些？

→→→→→→→→→【解】

(1)与OA相等的向量有EF，DO，CB；与OB相等的向量有DC，EO，FA；与OC相→→→等的向量有FO，ED，AB. →→→→→(2)与OA的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.

1.下列说法中正确的个数是(

) ①身高是一个向量；

②∠AOB的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

④物理学中的加速度是向量. A.0

B.1

5/6

C.2

D.3 【解析】

只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误.④正确. 【答案】

B 2.在下列判断中，正确的是(

)

①长度为0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③单位向量的长度都相等；

④单位向量都是同方向；

⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③

C.①②⑤

B.②③④

D.①③⑤

【解析】

由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④不正确，故选D. 【答案】

D 3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(

) A.e1＝e2

C.|e1|＝|e2|

B.e1∥e2

D.以上都不对

【解析】

单位向量的模都等于1个单位，故C正确. 【答案】

C 4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.

【解析】

由向量的相关概念可知④⑥正确. 【答案】

④⑥

→5.如图2-1-3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量AB相等的向量.

图2-1-3 →→→【解】

由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC，ED与AB的长度→→→相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED. 6/6