2.1.3 相等向量与共线向量教学设计(第一课时)

平面向量的基本概念与线性运算

教学目标：

1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．

3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则. 教学内容：

一、平面向量的概念：

1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．

图7－2 2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,

AB的模依次记作a，AB．

3、

零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

5、

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．

规定：0与任一向量平行．

6、

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

二、平面向量的基本运算：

一般地，a＋b叫做a,

b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋

b，则称l可以用a，b线性表示．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．

1

ABa

1、三角形法则：

位移AC叫做位移AB与位移BC的和，记作AC=AB+BC．

Ba

b

b

aA

a+b

C

图7－7

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作AB=a, BC=b，则向量AC叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即

a＋b =AB＋BC=AC

（7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

2、平行四边形法则：如图7－9所示，

ABCD为平行四边形，由于AD=BC，根据三角形法则得

D

C

AB＋AD=AB＋BC=AC

A

图7－9

B

这说明，在平行四边形ABCD中，

AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：

（1）a＋0 = 0＋a = a；

a＋（−a）= 0；

（2）a＋b=b＋a；

（3）（a＋b）＋

c = a ＋（b＋c）．

3、平面向量减法法则：

与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即

a −b = a＋(−b)．

设a=OA，b

OB，则

OAOBOA(OB)= OABOBOOABA．

2

即

OAOB=BA

（7．2）

观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、

b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．

a-bB

b

aA

图7－13

O

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为

|a||||a|

（7．3）

若|a|0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．

由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0时，有

a∥bab

（7．4）

一般地，有

0a= 0, 0 = 0 ．

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则：

1aa，

1　　1aa　；

2　　aaa；3　　aaa；

４　abab．

三、典例分析

例1

给出下列六个命题：

①

两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②

若|a|＝|b|，则a＝b；

→→③

若AB＝DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形；

3

④

在→→ABCD中，一定有AB＝DC；

⑤

若m＝n，n＝p，则m＝p；

⑥

若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中错误的命题有________．(填序号) 例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．

（1）找出与向量DA相等的向量；

（2）找出向量DC的负向量；

A

D

O B

C

（3）找出与向量AB平行的向量．

练习：

1．

如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出

（1）与EF相等的向量；（2）与AD共线的向量．

A

D

B

E

（练习题第1题图

F

C

A

B

F

O C

E

D

图7－5

（图－8）第21题图

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

（1）

与OC相等的向量；

（2）OC的负向量；

（3）与OC

3.、如图，已知a，b，求a＋b．

b

b

a

（1）

第1题图

（图1－15）

（2）

a

4．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,答案：AC

（2）b＋c =_____________ ,答案：BD

（3）a＋b＋c =_____________ ．答案：AD

4

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