2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计内容推荐

2.3.1-2平面向量基本定理与正交分解及坐标表示

一、学习目标

（1）正确理解平面向量基本定理；

（2）会确定基底，会对向量进行正交分解；

（3）正确理解平面向量的坐标的概念，并会加以表示．

二、自主学习

1．基础预探

（1）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=________．

把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．

（2）已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0º≤θ≤180º）叫做向量的________．

当θ=0º时，a与b________；当θ=180º时，a与b________；如果a与b的夹角为90º，则a与b ________，记作________．

（3）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量________．

（4）在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=________．这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，把有序实数对（x，y）叫做向量a的________，记作a=________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

三、合作探究

探究1：概念问题

例1．设O是平行四边形ABCD的两对角线AC、BD的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB．其中可作为这个平行四边形所在平面表示它们的所有向量基底的是（

）

A．①②

B．③④

C．①③

D．①④

思路导析：考查对平面向量基本定理的理解和掌握，注意作为基底的条件．

解析：AD与AB为不共线向量，可以作为基底；CA与DC为不共线向量，可以作为基底；而DA与BC，OD与OB为共线向量，不能作为基底；故正确答案是：C．

1

点评：根据平面向量基本定理可知，作为基底的条件是两向量不共线．

探究2：参数问题

例2．已知向量e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，且a=e1+e2，b=3e1－2e2，c=2e1+3e2，若c

=λa+b（λ、μ∈R），试求λ、μ的值．

思路导析：将a=e1+e2与b=3e1－2e2代入c=λa+μb后，可用基底e1、e2表示c，再将所得的表达式与条件c=2e1+3e2加以对照可得有关λ、μ的方程组，解方程组即可求得所要求的λ、μ的值．

解析：将a=e1+e2与b=3e1－2e2代入c=λa+μb得：

c=λ（e1+e2）+μ（3e1－2e2）=（λ+3μ）e1+（λ－2μ）e2，

又由于c=2e1+3e2，且向量e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一13325．

性可得方程组：，解之得1235点评：平面向量基本定理中的唯一性是建立有关参数的表达式的理论依据．

探究3：分解问题

例3．如图，已知D为△ABC的边BC上的中点，E为中线AD的中点，BE延长线交AC于F，

求证：AF=11AC，FE=EB．

33AFEBDC

思路导析：可以利用向量法证明，由于AF与AC共线，FE与EB也共线，所以可以设AF=λAC，

FE=μEB，然后通过相关的运算求得对应的λ与μ的值，即可得证得相关的结论．

证明：设AC=a，AB=b，AF=λAC=λa，FE=μEB（λ、μ∈R），

则AE=AF+FE=λa+μEB=λa－μBE，

而AE=11111AD=·（AC+AB）=a+b，

22244

2

111（BD+BA）=（BC+BA）

222111313=[（BA+AC）+BA]=AC+BA=a－b，

2244441313所以AE=λa－μBE=λa－μ（a－b）=（λ－μ）a+μb，

44441113，

4，解得由于a、b不共线，根据平面向量基本定理的唯一性可知413134411所以AF=AC，FE=EB．

33BE=点评：使本例获证的关键有两点：一是从两个不同角度分别得到用a、b表示的AE的表达式，二是根据a、b是两个不共线的向量，可以用为一组基底得到有关参数的二元一次方程组．特别在解答有关分解问题时，选择基底要从具体问题的特点出发，如果盲目选择基底，可能会造成比较大的运算量，实际操作时要加以适当探索后再设基底．

探究4：共线问题

例4．已知向量e1、e2不共线，

（1）若AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3（e1－e2），则A、B、D三点是否共线？

（2）是否存在实数k，使ke1+e2与e1－ke2共线？

思路导析：要判断三点是否共线，只要判断有公共点的两个向量共线即可，即两个向量满足向量共线定理．而判断是否共线，只要结合相关的定理加以判断即可．

证明：（1）因为AB=e1+e2，BD=BC+CD=5e1+5e2=5（e1+e2）=5AB，

所以BD//AB，即BD与AB共线，又由于BD与AB有公共点B，

所以A、B、D三点共线；

（2）假设存在实数k，使ke1+e2与e1－ke2共线，

则由向量共线定理，存在实数λ，使e1－ke2=λ（ke1+e2），即（λk－1）e1+（λ+k）e2=0，

由于向量e1、e2不共线，则k10，即k2=－1，所以k无实数解，

k0所以不存在实数k，使ke1+e2与e1－ke2共线．

3

点评：平面向量基本定理与向量共线定理等相关知识往往加以综合应用，用来解决和处理一些与共线有关的向量问题，关键是应用时要对相关的向量加以线性组合或其他相关变形．

四、学以致用

练习1：下列三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为向量表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数对不共线向量可作为向量表示该平面所有向量的基底；

③零向量不能作为基底中的向量．

其中正确说法的个数有（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

练习2：已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa(10y)b(4x7)a2xb，求x、y的值．

→1→→1→练习3：如图，已知平行四边形OACB中，BD=

BC，OD与BA相交于点E．求证：BE=BA．

34

练习4：已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?

五、自主合作

1．在△ABC中，点D在BC边上，且BC=3BD，则AD等于（

）

A．11（AC+2AB）

B．（AB+2AC）

33

4

C．11（AC+3AB）

D．（AC+2AB）

442．已知e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的等价条件是实数k等于（

）

A．0

B．－1

C．－2

D．±1 3．如果e1、e2是平面所有向量的一组基底，那么（

）

A．若实数m、n使得me1ne20，则m=n=0 B．平面任一向量a可以表示为a1e12e2，其中1、2为实数

C．对于实数m、n，me1ne2不一定在此平面上

D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上实数m、n，使ame1ne2

→→→1→→4．在△ABC中，AB＝a，AC＝b，若点D满足BD＝DC，则用a，b表示AD的结果为________．

25．设e1、e2是不共线的向量，若λe1+2e2与2e1+3λe2共线，则实数λ的值为________．

6．已知l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a．

参考答案

1．A；解析：AD=AB+BD=AB+111BC=AB+（AC－AB）=（AC+2AB）；

3332．D；解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2，又e1、e2不共线，

mk1，∴∴k=±1；

mk.3．A；解析：A中，me1ne20时，m=n=0；B中，a1e12e2，必须强调有且只有一对实数1、2；C中，对于实数m、n，D中，只有一对实数m、n，使ame1ne2；

me1ne2一定在此平面上；21121→→1→→1→→4．a+b；解析：由于AD=AB+BC=AB+（AC－AB）=a+（b－a）=a+b；

33333335．±2m4231；解析：由题知λe1+2e2=m（2e1+3λe2），可得，把m=λ代入2=3mλ得λ2=，

23323m23；

3解得λ=±6．解析：设a=λ1b+λ2c，即－l1+3l2=λ1（4l1+2l2）+λ2（－3l1+12l2），

即－l1+3l2=（4λ1－3λ2）l1+（2λ1+12λ2）l2，

5

4321，1717∴1

解得λ1=－，λ2=，故a=－b+c．

1827182721＋122＝3.

6