2.5.2 向量在物理中的应用举例教学创新设计

信阳市一高高一备课组

2.5

平面向量应用举例

主讲人：刘磊 2018年6月1日

教学目的：1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 4.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；

5.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用. 教学重点：1.用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”. 2.运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.教学难点：1.如何将几何等实际问题化归为向量问题. 2.将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. ●复习引入：你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？●知识衔接

1．若a＝(1,2)，b＝(x,1)，且a＋2b与2a－b平行，则x等于(

) 11A．2

B．1

C．

D．

23[答案]

C →→2．有四个式子：(1)0a＝0；(2)0·a＝0；(3)0－AB＝BA；(4)|a·b|＝|a||b|，其中正确的个数为(

) A．4

B．3

C．2

D．1 [答案]

B 3．已知a＝(5,10)，b＝(－3，－4)，c＝(2,3)，且c＝la＋kb，则l＝________，k＝________. 11[答案]

－

102●自主预习

1．向量在平面几何中的应用

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．

(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：

a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．

信阳市一高高一备课组

(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．

(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b.

|a||b|

(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．

2．向量在物理中的应用

数学中对物理背景问题主要研究下面两类：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．

(2)速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．

●预习自测

1．如图所示，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．

[探究]

求线段长度的问题可以转化为求向量的模，

→→写出|AC|2后会发现未知量可由|BD|2计算出．

→→→→[解析]

设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋B．

→而|BD|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝4，所以2a·b＝1.

→又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b22＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋2a·b＝6，

→所以|AC|＝6，即AC＝6.

2．如图，已知甲、乙两人同时从O出发，甲行走10 km到达B处，乙出发的方向与甲的方向的夹角为60°，乙走了14 km后到A处，求此时甲、乙两人之间的距离．

→→→→→→→→→[解析]

设向量OA＝a，OB＝b，AB2＝(OB－OA)2＝OB2＋OA2－2OA·OB，

→→→→又∵|OB|＝10，|OA|＝14，∴AB2＝196＋100－2×10×14×cos60°＝156，∴|AB|＝239. ∴甲、乙两人此时之间的距离为239km.

信阳市一高高一备课组

●高

效

课

堂

探究方向1：向量在平面几何中的应用

例题1：求证：直径所对的圆周角为直角

→→[探究]

本题实质就是证明AB·BC＝0.

→→→→→[证明]

设AO＝a，OB＝b，则AB＝a＋b，OC＝a，BC＝a－b，

→→|a|＝|b|.因为AB·BC＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，

→→所以AB⊥BC.所以∠ABC＝90°.

跟踪练习1 如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD．

→→→→→→解法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，

→→→→→→→→∴AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0. →→∴AC⊥BD.∴AC⊥BD．

解法二：如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0,0)．

→→设A(a，b)，C(c,0)，则BA＝(a，b)，BC＝(c,0)．

→→由|BA|＝|BC|，得a2＋b2＝c2. →→→∵AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，

→→→BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，

→→→→∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，即AC⊥BD．

探究方向2：向量在物理中的应用

例题2：如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.

转化为向量[探究]

分析条件→加法问题→求解:

信阳市一高高一备课组

[解析]

(1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，

得|F1|＝|G|，|F2|＝|G|tanθ. cosθ当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．

(2)由(1)，得|F1|＝|G|1.由|F1|≤2|G|，得cosθ≥. 2cosθ又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.

[规律总结]

1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．

2．如果一个物体在力G的作用下产生位移为s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．

跟踪练习2 两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．

求：(1)F1，F2分别对该质点所做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功→[解析]

AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j，

→(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28；

→F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23. →(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB

＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5. ●当

堂

检

测

1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(

) A．(8,0)

B．(9,1)

C．(－1,9)

D．(3,1)

[解析]

∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．

→→→→2．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为(

) A．平行四边形

B．矩形

C．等腰梯形

D．菱形

→→→→→

[解析]

由AB＋CD＝0，得AB＝－CD＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．

→→又AC·BD＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．

．

信阳市一高高一备课组

3．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为(

) A．2x＋y－7＝0

B．2x＋y＋7＝0

C．x－2y＋4＝0

D．x－2y－4＝0 →

[解析]

设P(x，y)为直线上一点，则AP⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.

164．已知△ABC的重心是G，CA的中点为M，且A、M、G三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(，38)，则|BC|为(

) 3A．410

B．10

C．

[解析]

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

x＝76＋2由条件可知6＋y2＝42210

D．210 2

x2＝8，即y2＝2

＋x16＝6＋833，∴C(8,2)，6＋2＋y83＝311

x1＝2即，∴B(2,0) y＝01

∴|BC|＝8－22＋2－02＝36＋4＝210.

5．已知：▱ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．

→→[证明]

设AB＝a，AD＝b，由于四边形ABCD是平行四边形，

→→→→→→∴AC＝AB＋AD＝a＋b，BD＝AD－AB＝b－A．

∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2. ∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2.∴a·b＝0. →→∴a⊥b，即AB⊥AD.∴AB⊥AD．∴四边形ABCD是矩形．

●课堂小结

1.用向量方法解决平面几何的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.用向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，

解决相关物理现象.