复习参考题板书设计

平面向量复习课

目标：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

重点：平面向量的数量积及其几何意义

难点：用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

本章整合：

一、向量的概念

1．向量：既有

，又有

的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量．

2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．

3．向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB．

4．零向量：长度为

的向量叫做零向量，记作

，零向量的方向是

．

1

单位向量：长度等于

的向量，叫做单位向量，方向是

．

5．平行向量：方向

的非零向量叫做平行向量．若向量a、b是两个平行向量，那么通常记作

．平行向量也叫做

向量．

规定：零向量与

平行，即对于任一向量a，都有

．

6．相等向量：

相等且

相同的向量叫做相等向量．若向量a、b是两个相等向量，那么通常记作a=b．

例1若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：

a①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤＝b．

|a|其中正确的是（

）．

A．①④⑤

C．①②③⑤

答案：D 解析：|a|与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|＞0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．

例2如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（

）．

B．③

D．②③⑤

→→A．|AB|＝|EF| →→C．BD＝EH

答案：C 解析：当菱形ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C．

例3如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是（

）．

→→B．AB与FH共线

→→D．DC与EC共线

→→A．图中所标出的向量中与AB相等的向量只有1个（不含AB本身）

→→B．图中所标出的向量中与AB的模相等的向量有4个（不含AB本身）

→→C．BD的长度恰为DA长度的3倍

→→D．CB与DA不共线

2

答案：D →→→→→解析：易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量AB＝DC；对于B，|AB|＝|DC|＝|DA→→→→→|＝|CB|＝|CA|；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|BD|＝3|DA|；对于D，CB→∥DA成立，故D是错误的．

二、向量的加、减法

1．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+bABBCAC．

向量加法的三角形法则的特点：

．平行四边形法则：

2．对于零向量与任一向量a，我们规定：a+0=0+a=a

3．公式及运算定律：

①A1A2+A2A3+...+AnA1=0

③a+b=b+a

②向量中的三角形三角不等式 ④（a+b）+c= a+（b+c）

4．相反向量：

①我们规定，与a

相等，方向

的向量，叫做a的相反向量，记作－a．a和－a互为相反向量．规定，零向量的相反向量仍是零向量

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋（－a）= （－a）＋a=0

③如果a、b是互为相反的向量，那么a =－b，b =－a，a＋b=0．

④我们定义a－b = a＋（－b），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

→→→→→例1 向量（AB＋MB）＋（BO＋BC）＋OM等于（

）．

→A．BC

答案：C →→→→→→→解析：原式＝AB＋BC＋MB＋BO＋OM＝AC＋0＝AC．

例2 △ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是（

）．

→B．AB

→C．AC

→D．AM

→→→A．AE＝AD＋FA

→＋AC≠0

答案：D

→→B．DE＋AF＝0

→→→C．AB＋BC＋CA≠0

→→D．AB＋BC3

→→例3 若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，用a、b表示→向量BC为（

）．

A．a＋b

答案：B →→→→→→→→解析：解法一：BC＝BA＋AC＝OA－OB＋（－2OA）＝－OA－OB＝－a－b．解法二：∵b→→→＋BC＝OC＝－a，∴BC＝－a－b．

→→例4 已知等腰直角△ABC中，∠C＝90°，M为斜边中点，设CM＝a，CA＝b，试用向量a、→→→→b表示AM、MB、CB、BA．

解：如图所示，

→→→AM＝CM－CA＝a－b，

→→MB＝AM＝a－b，

→→→→CB＝CA＋AB＝b＋2AM

＝b＋2a－2b＝2a－b，

→→BA＝－2AM＝－2（a－b）

＝2b－2a．

三、数乘向量

1．向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a|，②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，的方向与a的方向相反；λ=0时，λa=0．

2．运算定律：①λ（ua）=（λu）a

②（λ＋u）a =λa＋ua

③λ（a＋b）

=λa＋λb

④（－λ）a =－（λa）

=λ（－a）

⑤λ（a－b）

=λa－λb

3．平面向量共线定理：对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b =λa，那么a与b共线．相反，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即| b |=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b = ua；当a与b反方向时，有b=－ua．则得如下定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa．

4.三点共线判定定理：

5.三点共线的向量证法：

B．－a－b C．－a＋b

D．a－b

4

→2→→→例1点C在线段AB上，且AC＝AB，若AC＝λBC，则λ等于（

）．

52A．

32C．－

3答案：C 2→2→2→2→→→2→解析：∵AC＝AB＝（AC＋CB），∴AC＝CB＝－BC，∴λ＝－，故选C．

55333→→→1→→例2在△ABC中，已知D为AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝（

）．

32A．

31C．－

3答案：A 12→→解析：解法一：∵A、D、B三点共线，∴＋λ＝1，∴λ＝．解法二：∵AD＝2DB，∴331→2→1→→2→→→→→2→→2→→→AD＝AB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋（CB－CA）＝CA＋CB＝CA＋λCB，∴λ3333332＝，故选A．

3→→→例3已知G是△ABC内的一点，若GA＋GB＋GC＝0．求证：G是△ABC的重心．

→→→解：如图，∵GA＋GB＋GC＝0，

→→→∴GA＝－（GB＋GC）()

→→以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则

→→→→→GD＝GB＋GC，∴GD＝－GA，

又∵在平行四边形BGCD中，BC交GD于E，

→→→→∴BE＝EC，GE＝ED，

→→∴AE是△ABC的边BC的中线，且|GA|＝2|GE|，

∴G为△ABC的重心．

四、平面向量基本定理

1．如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

5 3B．

23D．－

21B．

32D．－

3

2．向量a与b的夹角：已知两个非零向量a和b．作OA=a，OB=b，则AOB（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．

3．补充结论：已知向量a、b是不共线的两个向量，且m、n∈R，若ma＋nb=0，则m=n=0．

例1已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足（x－y）e1＋（2x＋y）e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于（

）．

A．3 C．6 答案：C B．－3 D．－6 xy6x3解析：由，解得，∴x－y＝6，故选C．

x32xy3→→→→→→例2如图，在△AOB中，OA＝a、OB＝b，设AM＝2MB，ON＝3NA，而OM与BN相交于→点P，试用a、b表示向量OP．

→→→→2→解：OM＝OA＋AM＝OA＋AB

3→2→→＝OA＋（OB－OA）

3212＝a＋（b－a）＝a＋b．

333→→→→∵OP与OM共线，令OP＝tOM，

12→则OP＝t3a＋3b．

→→→3又设OP＝（1－m）ON＋mOB＝a•（1－m）＋mb

4∴23t＝m

t3＝1－m34

，∴9t＝103m＝5．

3→3∴OP＝a＋b．

105五、正交分解与坐标表示

1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．即若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，

6

则a＋b=

，a－b=

．

3．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．即若a=(x1,y1)，则λa=

．

4．当且仅当x1y2－x2y1=0时，向量a、b（b≠0）共线．

5．定比分点坐标公式：当P1PPP2时，P点坐标为

①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0；

②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜－1；

③当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，－1＜λ＜0．

6．从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，

则OCOAOB，其中λ+μ=1．

OACB

例1（1）设向量a、b的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a＋b，a－b，2a＋3b的坐标；

（2）设向量a、b、c的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a－b＋c的坐标．

解：（1）a＋b＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；

a－b＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；

2a＋3b＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）．

（2）3a－b＋c＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）

＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）．

例2平面内给定三个向量a＝（3，2）、b＝（－1，2）、c＝（4，1），

（1）求满足a＝mb＋nc的实数m、n；

（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k．

解：（1）∵a＝mb＋nc，

∴（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）．

－m＋4n＝3∴，解得2m＋n＝2

8n＝95m＝9

．

（2）∵（a＋kc）∥（2b－a），

又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），

∴2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．

16∴k＝－．

13

7

→1→→例3已知A、B、C三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE＝AC，BF＝31→BC，

3→→求证：EF∥AB．

解：设E（x1，y1）、F（x2，y2），依题意有：

→→→AC＝（2，2）、BC＝（－2，3）、AB＝（4，－1）．

22→1→→因为AE＝AC，所以AE＝3，3．

32→1→→－，1．

因为BF＝BC，所以BF＝332212，，所以E－，．

因为（x1＋1，y1）＝333327－，1，所以F，0．

因为（x2－3，y2＋1）＝3382→，－．

∴EF＝33→→－2－8×（－1）＝0，所以EF又因为4×∥AB．

33例4若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝（1，0），求向量a、b的坐标．

解：设a＝（m，n），b＝（p，q），

m＋n＝1p＋q＝1则有m＋p＝1n＋q＝02222

3，解得q＝－23n＝21m＝p＝2

3或q＝23n＝－21m＝p＝2．

13131313故a＝（，）、b＝（，－）或a＝（，－）、b＝（，）．

22222222

六．数量积（内积）

1．已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a•b即a•b =|a||b|cos．其中θ是a与b的夹角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．

2．a•b的几何意义：数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积．

3．数量积的运算定律：①a•b = b•a

②（λa）•b

=λ（a•b）=a（•λb）

③（a+ b）•c=a•c+ b•c

8

④（a+b）² = a²+2a•b+b²

⑤（a－b）² = a²－2a•b+b²

⑥（a+b）（a－b）= a²•－b²．

4．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a•b=x1x2y1y2．则：

①若a=(x,y)，则|a|²=x2y2，或|a|=x2y2．如果表示向量a的有向线段的起点和中22（y2y1）点的坐标分别为、，那么a=，|a|=（x2x1）．

（x1，y1）（x2，y2）（x2x1，y2y1）②设a=，b=，则a⊥bx1x2y1y20a•b=0．

（x1，y1）（x2，y2）5．设a、b都是非零向量，a=，b=，θ是a与b的夹角，根据向量数量积（x1，y1）（x2，y2）的定义及坐标表示可得：cosab|a||b|x1x2y1y2．

2222x1y1x2y2例1若|a|＝4，|b|＝3，a•b＝－6，则a与b的夹角等于（

）．

A．150°

B．120°

C．60°

答案：B a·b－61解析：cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°．

|a||b|4×32例2 若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为（

）．

A．2

B．3

C．23 答案：C 解析：a在b方向上的投影为|a|cos＜a，b＞＝4×cos30°＝23．

例3 已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a－3b，d＝ma＋b，若c⊥d，求实数m的值．

解：a•b＝|a||b|cos60°＝1．

因为c⊥d，所以c•d＝0，即（2a－3b）•（ma＋b）＝2ma2＋（2－3m）a•b－3b2＝2m－12＋2－3m＝0，解得m＝－10．

例4 已知a＝（1，2），b＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得：

（1）a与b夹角为90°；（2）a与b夹角为钝角；（3）a与b夹角为锐角．

解：设＜a，b＞＝θ，

1＋2λ11（1）由a⊥b得λ＝－．（2）cosθ＝，由cosθ＜0且cosθ≠－1得λ＜－．

2251＋λ21（3）由cosθ＞0且cosθ≠1，得λ＞－，且λ≠2．

2

D．4 D．30°

9

10