探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优质课教案内容

“三角函数、解三角形”类题目的审题技巧与解题规范

赵

玲

数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．

高考中有以下几类解答题常用到此种审题方法

1．三角形一些量的求解及三角形形状的判定；

2．函数与导数中的不等式问题常利用变换数式问题形式；

3．数列中的求值或一些性质应用．

[典例]

(2013·新课标全国卷Ⅱ)(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

[解题流程]

第一步

[失分警示] 根据正弦定理把边化为角

易忽略说明解：1由已知及正弦定理得B，C

的sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B.

①2分

范围，导致又A＝π－B＋C，扣分．

1

第二步

三角恒等变换

故sin A＝sinB＋C＝sin Bcos C＋cos Bsin C.B，C的范围，

②4分

导致扣分．

由①②和C∈0，π得sin B＝cos B.

易忽略说明第三步

求角

第四步

利用余弦定理列等式

第五步

均值不等式求最值



π

又B∈0，π，所以B＝4.

6分

[失分警示] 122△ABC的面积S＝acsin B＝24ac.7分由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ.4

利用基本不等式求出a，

c的范围，而

不说明取等号的条件．

又a2＋c2≥2ac，故ac≤4，2－2当且仅当a＝c时，等号成立.11分

311.(2014·西安一模)已知函数f(x)＝2sin 2x－cos2x－2，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值．

1＋cos 2x13解：(1)∵f(x)＝2sin 2x－－2

2π＝sin2x－6－1，

2π∴函数f(x)的最小正周期是T＝2＝π.

2

π(2)∵f(x)＝sin2x－6－1，且f(C)＝0，

ππ∴f(C)＝sin2C－6－1＝0，即sin(2C－6)＝1，

ππ11π∵0

πππ∴2C－6＝2，∴C＝3. a1∵sin B＝2sin A，∴由正弦定理得b＝2，①

π由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos3，即a2＋b2－ab＝3，②

由①②解得a＝1，b＝2. π2．(2014·石家庄模拟)已知f(x)＝4cos x·cosx－3－2. (1)求函数f(x)的最小正周期；

ππ(2)求函数f(x)在区间－6，4上的最大值和最小值．

π解：(1)因为f(x)＝4cos xcosx－3－2 13＝4cos xcos x＋sin x－2 22＝3sin 2x＋2cos2x－2

＝3sin 2x＋cos 2x－1 π＝2sin2x＋6－1. 2π所以f(x)的最小正周期是T＝2＝π.

ππ(2)因为－6≤x≤4，

ππ2π所以－6≤2x＋6≤3. πππ于是当2x＋6＝2，即x＝6时，

f(x)取得最大值1；

3

πππ当2x＋6＝－6，即x＝－6时，f(x)取得最小值－2. 3．(2014·辽宁模拟)已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(sin A－sin B，sin C)，向量n＝(2sin A－sin C，sin A＋sin B)，且m∥n. (1)求角B；

3(2)若sin A＝5，求cos C的值．

解：(1)依题意得sin2A－sin2B＝sin C(2sin A－sin C)＝2sin Asin C－sin2C，

由正弦定理得，a2－b2＝2ac－c2，

∴a2＋c2－b2＝2ac. a2＋c2－b22π由余弦定理知，cos B＝2ac＝2，∴B＝4. 32(2)∵sin A＝5，∴sin A<2，∴A

3π3π23π∴cos C＝cos4－A＝cos4cos A＋sin4sin A＝－10. 

4