复习参考题优秀教学设计

1.7 三角函数-----小结与复习

一、教学目标：

知识与技能：

回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。

过程与方法：

通过对基本知识的梳理回顾，帮助学生形成知识网络。由基本问题的解决，促使学生形成解题技能。

情感、态度与价值观

通过章节复习培养学生总结归纳能力。在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．

二．重点难点 重点：基本知识的回顾及基本问题的解法

难点：知识的综合运用能力。

三、教材与学情分析

通过章节复习引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

一、构建知识网络，完善认知体系

1

二、归纳基本题型，形成解题技能

专题一

三角函数的概念

三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．

αααcos ＝－cos ，试判定角属于第几象限．

[例1]

(1)设角α属于第二象限，222(2)求函数y＝3tan x＋3的定义域．

ππαπ解：(1)依题意得2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋<

2422αα当k＝2n(n∈Z)时，为第一象限角；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，为第三象限角．

22αααcos ＝－cos ≥0，所以cos ≤0.

又222α所以应为第二、三象限角或终边落在x非正半轴上或y轴上．

2α综上所述，是第三象限角．

2(2)3tan x＋3≥0，即tan x≥－3. 3ππππkπ－≤x

α1．由α所在象限，判断角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集合的几何意义，2α用数形结合的方法确定的所属象限；另一种方法就是将k进行分类讨论．

22．求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域．

变式训练1

(1)若θ为第四象限的角，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；

π(2)已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈2，π，求α的正切值．

ππ解：(1)因为θ为第四象限角，所以0

22所以sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0，

所以sin(cos θ)·cos(sin θ)>0. π，π，所以cos θ<0，

所以r＝x2＋y2＝9cos2θ＋16cos2θ＝－5cos θ，

(2)因为θ∈2y4x3y4故sin α＝＝－，

cos α＝＝，tan α＝＝－. r5r5x3专题二

同角三角函数的基本关系与诱导公式

2

在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取．

2＋tan（θ－π）[例2]

已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．

1＋tan（2π－θ）2＋tan θ解：法一：由已知＝－4，所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，

1－tan θ所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ＝

4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ4tan θ－tan2θ－38－4－31＝＝＝.

5sin2θ＋cos2θtan2θ＋14＋12＋tan θsin θ法二：由已知＝－4，解得tan θ＝2，即＝2，所以sin θ＝2cos θ，

cos θ1－tan θ所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝

cos2θ11(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cosθ＝2＝. 2＝2sinθ＋cosθtanθ＋152归纳升华

三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2)“1”的代换，如：1＝sin2α＋cos2α(常用于解决有关正、πkπ余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan 等；(3)若式子中有角，k∈Z，则先利用诱导公式化简．

425变式训练2. 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(

) 1312A.

55C.

1212B．－

55D．－

12解析：法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin2α＝

5－213512sin α5－＝，所以tan α＝1－＝＝－. 1313cos α1212135法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，

13y5所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－. x12答案：D 专题三

三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．

3

πA>0，ω>0，|φ|<的一段图象．

[例3]

如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k2

(1)求此函数解析式；

(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？

3113－－－－＋－221222π－π＝π，

解：(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×362222π1ππππ所以ω＝＝2.所以y＝sin(2x＋φ)－1.当x＝时，2×＋φ＝，所以φ＝. T26626π12x＋－1. 所以所求函数解析式为y＝sin62ππ1x＋，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到(2)把y＝sin x向左平移个单位得到y＝sin662ππ112x＋，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin2x＋，

y＝sin6622ππ112x＋的图象向下平移1个单位，得到y＝sin2x＋－1的图象．

最后把函数y＝sin6622归纳升华

ymax－yminymax＋ymin2π1．求解析式的方法：A＝，k＝，ω＝，由“五点作图法”中方法令ωx＋φ＝0，

22Tπ3，π，π或2π求φ. 222．图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应．

π变式训练3.

将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的8一个可能取值为(

) 3πππA.

B.

C．0

D．－

444x＋π＋φ＝sin2x＋π＋φ为偶函数，所以π＋φ＝kπ＋π，k∈Z，

解析：由题意得g(x)＝sin24842ππ所以φ＝kπ＋.令k＝0，得φ＝. 44答案：B 专题四

三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在

4

研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．

π2x＋＋a＋1(其中a为常数)．

[例4]

已知函数f(x)＝2sin6(1)求f(x)的单调区间；

π0，时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(2)若x∈2(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．

πππππ解：(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为26236－π＋kπ，π＋kπ(k∈Z)，由π＋2kπ≤2x＋π≤3π＋2kπ，k∈Z，解得π＋kπ≤x≤2π＋kπ，k∈Z，

6326263π2π＋kπ，＋kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调减区间为36ππππ7π12x＋≤1，

(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以－≤sin626662所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1，

ππππ(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，所以2x＝＋2kπ，所以x＝＋kπ，k∈Z. 6236πx＝＋kπ，k∈Z

所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是x6

归纳升华

1．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k单调区间求法策略：可把“ωx＋φ”看作一个整体，代入正弦函数的相应区间求解．

2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的值域和最值时，先求复合角“ωx＋φ”的范围，再利用y＝sin x的性质来求解．

23π变式训练4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f6＝(

) 131A.

B.

C．0

D．－

222解析：因为f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π，

5π－π＋π＝f－π＋sin－π＝0，

又因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，即f6666π123πππ1－＝，所以f＝f4π－＝f－＝. 所以f662626答案：A

专题五

转化与化归思想

化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin x来研究．这些

5

均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．

π21－x的单调区间．

[例5]

求函数y＝sin2432π1π2ππx－.由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，

解：将原函数化为y＝－sin234234239得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递减．

88π2π3921由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，此时函数单调递增．

234288393kπ－π，3kπ＋π(k∈Z)，

故原函数的单调递减区间为889213kπ＋π，3kπ＋π(k∈Z)．

单调递增区间为88归纳升华

1．求形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，(ω<0)的单调区间时：先把此函数化为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式后，再利用函数y＝sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使x的系数为正数是关键．

2．在求形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C的值域或最值时，常令t＝sin x转化为一元二次函数来求解．

π变式训练5.

已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．

4π22解：y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.令t＝sin x，因为|x|≤，所以－≤t≤. 42212522则y＝－t＋t＋1＝－t－2＋－≤t≤，

422222π2151－2所以当t＝－时，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－－－＋＝. 242224六、课堂小结

1.回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。

2.构建知识网络，形成解题技能，发展综合能力。

七、课后作业

1.课时练与测

八、教学反思

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