探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质课堂实录

课

题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）

教学目的：

1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．

2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．

3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．

教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

先利用正弦线画出函数ysinx

，x∈[0,2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦2曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案

教学过程：

一、复习引入：

1设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离r2．比值xyx2y20

22yy叫做的正弦 记作： sin

rrxx

比值叫做的余弦 记作： cos

rryy

比值叫做的正切 记作： tan

xxP(x,y)rxx比值叫做的余切 记作： cot

yy三人行，必有我师

比值rr叫做的正割 记作： sec

xx 比值rr叫做的余割 记作： csc yy以上六种函数，统称为三角函数

今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．

二、讲解新课：

1．

正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM

rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成三人行，必有我师

几等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角0,，，,…，6322π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）．

第二步：描点．我们把x轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

现在来作余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象: 第一步:列表

表就是单位圆中的余弦线．

第二步:描点．把坐标轴向下平移，过O1作与x轴的正半轴成角的直线，

4又过余弦线O1A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么O1A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线O1A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．

第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象．

以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456x

fx = cosx 3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

3,1)

(,0)

(,-1)

(2,0) 22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，(0,0)

(三人行，必有我师

常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．

探究：

（1）y=cosx,

xR与函数y=sin(x+（2）将y=sinx的图象向左平移)

xR的图象相同

2即得y=cosx的图象

2（3）也同样可用五点法作图：y=cosx

x[0,2]的五个点关键是

3,0)

(,-1)

(,0)

(2,1) 224．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法

三、讲解范例：

例1

作下列函数的简图

(1)y=sinx，x∈[0，2π]，

(2)y=cosx，x∈[0，2π]，

(3)y=1+sinx，x∈[0，2π]，

(4)y=-cosx，x∈[0，2π]，

解：(1)列表

(0,1)

(X Sinx (2)列表

X Cosx (3)列表

X Sinx 1+sinx (4)列表

X Cosx

-cosx

0 0 

21 

0 3

2-1 2

0 0 1 

20 

-1 3

20 2

1 0 0 1 

21 2 

0 1 3

2-1 0 2

0 1 0 1 -1 

20 0 

-1 1 3

20 0 2

1 -1 三人行，必有我师

例2

利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

(1)sinx1

2解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：52k,2k,kZ

66(2)cosx1

2解：作出余弦函数y=cos，x∈[0，2π]的图象：

由图形可以得到，满足条件的x的集合为：52k,2k,kZ

33四、课堂练习：

五、小结

本节课我们学习了用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数，余弦函数的图象，用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，并用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式．

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：

三人行，必有我师