信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学活动设计方案

一师一优课教学设计

宁夏育才中学

杨宏亮

课题：（人教A版

必修4）

三角函数->1.4 三角函数的图像与性质-> 信息技术应用

利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象

教材分析

利用信息技术工具，可以快捷地作出三角函数的图像，利用动态演示功能，可以帮助学生发现图像的特点，观察函数变化过程，这对学生认识三角函数的性质很有好处。

数形结合的思想方法贯穿了本节内容的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质进一步地认识函数的图像，充分体现了数形结合的思想方法。所以教学中应充分体现数形结合的思想。

教学的关键是让学生熟练的把握三角函数的形状特征，并能在图像的直观下研究函数的性质。

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图像与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中。

一般来说，对函数性质的研究总是先作图像，通过图像获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述。

由于本节课是《正切函数的性质与图像》之后的拓展和信息技术的应用，并且学生对于正切函数已经根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）研究了性质，这节课主要在于用信息技术画正切函数的图像。通过由数到形，以及由形到数这样的双向进行，一方面在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图像，加强了理性思维的成分，并使数学结合的思想体现的更加全面；另一方面在图形的指导下更进一步的加深对性质的认知。

教学目标

利用正切函数线借助计算机画出正切函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象，

理解并掌握正切函数的性质（重点）

能利用正切函数的图像及性质解决有关问题（重点、难度）

教学流程设计

一、

复习引入

请同学们回顾利用单位圆中正弦函数线画正弦函数

内得到正弦函数图像较精确作图的操作步骤：

（1）

建系画圆

（2）

12等分圆

（3）

找横坐标

（4）

找纵坐标

（5）

连线得图

（6）

左右平移

二、

利用单位圆中正切函数线画正切函数

类比正弦函数图像的几何画法请同学思考一下利用单位圆上的正切线如何画出正切函数

在开区间

，

内的图像的具体作法：

（1）等分

（2）作正切线

（3）平移

（4）连线

三、

利用信息技术作正切函数的图像

（1）

借助《几何画板》软件做出正切函数

在开区间 ，

的精确图像，并

利用周期性将一个周期的图像向左、向右平移周期的整数倍得到整个定义域上的精确图像；

（2）

通过信息技术作出精确正切函数的图像之后，引导学生观察图像的形状，并结合图像回答正切函数的性质，如下表

图像的特点

图像与直线

没有交点

正切函数的性质

定义域为

图像向上、下无限延伸

在区间

,

上的图像完

值域为R

最小正周期为

奇函数

在

,

内是增函数

全一样

图像关于原点对称

图像在

,

内是上升

的

图像关于点

,

成中心对称

对称中心为

，

让学生通过此表格的回答再次体会利用函数图像认识函数性质，深刻感受数形结合！

四、

用“三点两线”画正切函数的简图

引导学生类比“五点法”作正弦函数的简图，寻找利用一些关键要素作正切函数的简图

（1）

结合正切函数的图像特点寻找一些关键要素：“三点两线”三个点分别是

，

，

，

，两线指

和

（2）

提醒同学们注意正切曲线在x轴下方的部分上凸，在x轴上方的部分下凹，要注意曲线的光滑性及凸凹性

（3）

要注意到正切曲线与两条渐近线

和

是无限接近但不相交。

五、

正切函数图像的简单应用

例题：利用正切函数的图像，写出下列不等式的集合

（1）

;

（2）

. 方法总结：利用正切函数的图像解不等式

的步骤

1、

作出正切函数

在

，

上的图像；

2、

求出

，

内使

成立的x的值；

3、

利用图像确

在 ，

内的解集；

4、

把此解集扩展到整个定义域内。

备选例题

例

：

求函数

的值域.

解析：因为

所以

令

,由

的图像，可得所求函数的值域为

，

，

方法总结：与正切函数相关的最值或值域的求解思路

已知角的范围，求正切函数值的范围时：

如果角的范围在一个单调区间内，可直接运用单调性得到正切函数值得范围；

如果角的范围不在一个单调区间内，则要结合函数图像求正切函数值得范围

六、

课堂小结

1、

信息技术应用

利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象；

2、

数学思想--数形结合；

3、

通过这节课的学习，你还有什么困惑吗？