复习参考题优秀教案

平面向量的数量积及应用（第二课时）

教材分析：本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测18年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

教学目标 : 核心知识：

1、熟练用向量方法解决某些简单平面几何问题。

2、会用向量方法解决简单的力学问题与其它一些实际问题。

3、会用向量方法解决简单的向量与三角函数的综合问题

核心能力：

通过专题的训练熟练计算。

核心素养：

培养学生会熟练利用向量这一个工具。

教学重点：

解决向量与几何，向量与三角函数的综合问题

教学难点：

解决向量与几何，向量与三角函数的综合问题

教学环境：简易多媒体教学环境

信息技术应用思路：

在本堂课教学中，我以学生为主，转变传统的教学方法，引导学生在一定的情境下利用学习资料和老师帮助主动我、获取知识。利用简单的多媒体教学形式，使学生主动能参与到课堂中，并能提高课堂的教学效率。而这一切，都是利用信息技术辅助教学的结果，更加体现了老师的主导作用。

教学过程：

一、

上节知识复习

（1）平面数量积公式：a·b =

|a||b|cosθ

（2）平面数量积坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b=

x1x2＋y1y2

（3）若a与b为两非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 二、新课教学

►考点2

平面向量数量积的性质

●角度1 平面向量的模

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例2、已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( ) A.2－1 B.2 C.2＋1 D.2＋2 【解答】条件|c－a－b|＝1可以理解成如图的情况．

而|a＋b|＝2，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为2＋1. ●角度2 平面向量的夹角

例3 、(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝22|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的3ππ3π夹角为（ ）A. B. C. D．π

424【解答】

由题意(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0，即3|a|2－|a|·|b|cos θ－2π222222|b|＝0，所以3×－3cos θ－2＝0，cos θ＝2，θ＝4，选A. 32●角度3 平面向量的垂直

1例4、

(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(t m＋n)，399则实数t的值为（ ）A．4 B．－4 C. D．－

44【解答】

因为n⊥(t m＋n)，

2n所以t m·n＋n2＝0，所以m·n＝－，又4|m|＝3|n|，

tm·n4m·n41所以cos〈m，n〉＝＝＝－＝，所以t＝－4，故选B. |m|·|n|3|n|23t3►考点3 平面向量与三角函数的综合

例5、

已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x，1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

【解答】

(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x ππ2x＋. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，

＝1＋2cos33ππππ解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．

6363

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ππ(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋＝－1，∴cos2A＋＝－1. 33ππ7πππ又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. 33333∵a＝7，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①

∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，

∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，② 由①②，可得b＝3，c＝2. 三、课堂练习

3→1◎变式训练2．(1) (2016·课标全国Ⅲ)已知向量→BA＝，，BC＝22A．30° B．45° C．60° D．120°

31则∠ABC＝（ ）

，，22(2)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝（ ）

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 →→3BA·BC解析

(1)cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A. →→2|BA|·|BC|(2)(m＋n)⊥(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3，故选B. ◎变式训练 3．已知a＝(cos x，2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，f(x)＝a·b. π(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；

6(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．

π解析

(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin x·cos x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin2x＋＋1. 4πππx－2x－2＋＋1＝2sin＋1. ∴g(x)＝2sin6412πππ5π7π由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴g(x)212224247π5π－＋kπ，＋kπ，k∈Z. 的单调递增区间为2424(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos x≠0，∴sin xcos x－4cos2x＝0，∴tan x＝4. 2cos2x＋2sin xcos x2＋2tan x10∴f(x)＝2cosx＋2sin xcos x＝＝＝. sin2x＋cos2x1＋tan2x172四、课堂总结：

1．平面向量夹角的求法：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ＝

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a·b(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．

|a||b|2．平面向量垂直问题的解题思路

解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．

3．求平面向量的模的解题方法

(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|＝x2＋y2. (2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．

4．平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

作业：

知能达标训练 作业（二十八）

教学反思：

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