2.5.2 向量在物理中的应用举例优秀获奖教案

2.5 平面向量应用举例

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P109～P112的内容，回答下列问题．

(1)利用向量方法可以解决平面几何中的哪些问题？

提示：距离、夹角等问题．

(2)利用向量方法可以解决物理中的哪些问题？

提示：可以利用向量解决与力、位移、速度有关的问题．

2．归纳总结，核心必记

(1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

(2)向量在物理中的应用

①物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．

②向量的加减运算体现在一些物理量的合成和分解中．

③动量mv是向量的数乘运算．

④功是力F与位移s的数量积．

[问题思考] 用向量解决几何问题时，有时需要选择合适的基底，你知道怎样选择合适的基底吗？

提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．

[课前反思] (1)平面向量在平面几何中的应用： ；

(2)平面向量在物理中的应用： .

1

知识点1

讲一讲

1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，平面几何中的平行、垂直问题

PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

[尝试解答] 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0

则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a，

∴DP·EF＝(DA＋AP)·(EP＋PF) ＝DA·EP＋DA·PF＋AP·EP＋AP·PF

＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a＋a(1－a)＝0. ∴DP⊥EF，即DP⊥EF.

法二：设正方形边长为1，

建立如图所示的平面直角坐标系，

设P(x，x)，

则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，

所以DP＝(x，x－1)，

2EF＝(1－x，x)，

由于DP·EF＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，

所以DP⊥EF，

即DP⊥EF.

2

类题·通法

(1)向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法：

方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③证明AB·CD的值为0；④给出几何结论AB⊥CD. 方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)，再计算AB·CD的值为0，从而得到几何结论AB⊥CD. (2)用向量法证明平面几何中AB∥CD的方法：

方法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB和CD；③寻找实数λ，使AB＝λCD，即AB∥CD；④给出几何结论AB∥CD. 方法二：先求AB，CD的坐标，AB＝(x1，y1)，CD＝(x2，y2)．利用向量共线的坐标关系x1y2－x2y1＝0得到AB∥CD，再给出几何结论AB∥CD. 以上两种方法，都是建立在A，B，C，D中任意三点都不共线的基础上，才有AB∥CD得到AB∥CD. 练一练

11．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向4量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

证明：设AD＝a，AB＝b，

113则DE＝AE－AD＝AC－a＝b－a，

444FB＝AB－AF＝b－AC＝b－a，

所以DE＝FB，

且D，E，F，B四点不共线，

所以四边形DEBF是平行四边形.

知识点2

讲一讲

3 341434平面几何中的长度问题

2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. 1(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

2(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．

[尝试解答] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．

∵D为AB的中点，∴D，，

22∴|CD|＝12n＋m2，| AB|＝m2＋n2，

2nm11∴|CD|＝| AB|，即CD＝AB. 22(2)∵E为CD的中点，∴E，，

443n设F(x,0)，则AE＝，－m，AF＝(x，－m)．

44∵A，E，F三点共线，∴AF＝λAE. nmnx＝λ，n34即(x，－m)＝λ，－m.则443－m＝－mλ，44nn故λ＝，即x＝，∴F，0，

333∴|AF|＝

类题·通法

121n＋9m2，即AF＝n2＋9m2. 33

利用向量法解决长度问题的策略

向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|＝a求解；二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x＋y. 练一练

2．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

2222

4

解：设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，

而|BD|＝|a－b|＝a－2a·b＋b＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，

1∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，

2又|AC|＝|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝1＋4＋2a·b＝6，∴|AC|＝6，

即AC＝6.

知识点3

讲一讲

3．在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．

[尝试解答] 设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．

设| AB|＝|va|，|CB|＝|ω|，|AC|＝|vb|，

作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，

则∠BAD＝45°.

设| AB|＝150，则|CB|＝75(6－2)．

∴|CD|＝|BE|＝|EA|＝752，|DA|＝756. 从而|AC|＝1502，∠CAD＝30°.∴|vb|＝1502，

即没有风时飞机的航速为1502 km/h，方向为北偏西60°.

类题·通法

利用向量法解决物理问题的步骤

(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；

(2)建立以向量为主体的数学模型；

(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；

(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．

练一练

5 222222向量在物理中的应用

3．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s) 解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×3＝5003(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小221为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－225)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．

即F和f所做的功分别为5003 J和－22 J. [课堂归纳·感悟提升] 1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面向量在物理中的应用．

2．要掌握平面向量的应用

(1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题，见讲1；

(2)利用平面向量解决平面几何中的长度问题，见讲2；

(3)平面向量在物理中的应用，见讲3.

课下能力提升(二十一)

[学业水平达标练]

题组1 平面向量在平面几何中的应用

1．已知直线l与x，y轴分别相交于点A，B，AB＝2i－3j(i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量)，则直线l的方程是(

) A．3x－2y＋6＝0 B．3x＋2y＋6＝0 C．2x＋3y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 解析：选B 由于i，j分别是与x，y轴的正半轴同方向的单位向量，所以AB＝(2，－3)，而A，B分别在x轴，y轴上，可得A(－2,0)，B(0，－3)，由此可得直线l的方程为3x＋2y＋6＝0.

6

2．在四边形ABCD中，AB＝DC，且| AB|＝|BC|，那么四边形ABCD为(

) A．平行四边形 B．菱形

C．长方形 D．正方形

解析：选B 由AB＝DC知四边形ABCD为平行四边形，由| AB|＝|BC|知▱ABCD的邻边相等，

∴四边形ABCD为菱形．

→AB―→＋AC―3．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且→||AC―→||AB―AB―→AC―→1·＝，则△ABC为(

) |AB―→||AC―→|2A．三边均不相等的三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．等边三角形

解析：选D AB―→AC―→＋是向量AB，AC方向上的两个单位向量的和，它在|AB―→||AC―→|→AB―→＋AC―·BC＝0，知此三角形为等腰三角形，再由→||AC―→||AB―∠A的平分线上，由AB―→AC―→1·＝知∠A为60°，故此三角形为等边三角形．

|AB―→||AC―→|24．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.

解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，3)，C(3，3)，D(3,0)，AC＝(3，3)，设AE＝λAC，则E的坐标为(3λ，3λ)，故BE＝(3λ，3λ－3)．因为BE⊥AC，所以BE·AC＝0，即9λ121213339＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，.故ED＝，－，|ED|＝，即ED＝. 4224444答案：21

25.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．求证：AF⊥DE(利用向量证明)．

7

证明：设AB＝a，AD＝b，

11则AF＝a＋b，ED＝b－a，

2211∴AF·ED＝a＋b·b－a

2212123＝b－a＋a·b. 224又AB⊥AD，且| AB|＝|AD|，∴a＝b，a·b＝0，

∴AF·ED＝0，∴AF⊥ED，

即AF⊥DE. 题组2 向量在物理中的应用

6．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(

) A．v1－v2 B．v1＋v2

C．|v1|－|v2| D.

v解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．

7．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前行进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J. 解析：所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 5003 J. 答案：1 5003 8．在水流速度为43 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．

解：如图所示，设AB表示水流速度，AC表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB为一边，AC为一对角线作▱ABCD，则AD就是船的航行速度．

∵| AB|＝43，|AC|＝12，

∴|AD|＝|BC|＝83，tan ∠ACB＝433＝，

12322v12∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.

即船的航行速度的大小为83 km/h，方向与水流方向的夹角为120°.

[能力提升综合练] 1．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(

) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积

8

B．以b，c为两边的三角形的面积

C．以a，b为两边的三角形的面积

D．以b，c为邻边的平行四边形的面积

解析：选A 假设a与b的夹角为θ，|b·c|＝|b|·|c|·|cos〈b，c〉|＝|b|·|a|·|cos(90°±θ)|＝|b|·|a|·sin θ，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积．

2．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO·BC等于(

) 35A. B.

22C．2 D．3

解析：选B AO·BC＝AO·(AC－AB)＝AO·AC－AO·AB，因为OA11＝OB，所以AO在AB上的投影为| AB|，所以AO·AB＝| AB|·|

AB|＝2，同221995理AO·AC＝|AC|·|AC|＝，故AO·BC＝－2＝. 22223．已知△ABC满足AB＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是(

) A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

解析：选C 由题意得，AB＝AB·AC＋AB·CB＋CA·CB＝AB·(AC＋22CB)＋CA·CB＝AB2＋CA·CB，

∴CA·CB＝0，∴CA⊥CB，

∴△ABC是直角三角形．

4．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(

) A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 解析：选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2. 5．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上的两点，且|AB|＝5，则AC·CB＝________. 解析：由弦长|AB|＝5，可知∠ACB＝60°，AC·CB＝－CA·CB＝－5|CA||CB|cos∠ACB＝－. 2

9

5答案：－

26．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，判断△ABC的形状．

解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b. 如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为PD＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.

同理，∠APB＝∠BPC＝120°.

又因为|a|＝|b|＝|c|，

所以△ABC为等边三角形．

7.如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；

(2)D，M，B三点共线．

证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图．令|AD|＝1，则|DC|＝1，| AB|＝2.∵CE⊥AB，AD＝DC，

∴四边形AECD为正方形．∴各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，

BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC. 1(2)∵M为EC的中点，∴M0，，

211∴MD＝(－1,1)－0，＝－1，，

2211FC＝(1,0)－0，2＝1，－2.∵MD＝－FC，

∴MD∥FC. 又∵MD与FC有公共点M，∴D，M，B三点共线．

10

11