信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表ppt课件配套教案内容

3.2简单的三角恒等变换

第1课时 利用公式进行简单的恒等变换

一、教学目标

重 点: 引导学生以三角函数的和（差）公式与倍角公式为依据，推导半角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积公式．

难 点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

知识点：半角的正弦、余弦、正切公式、积化和差与和差化积公式．

能力点：能运用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，并能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式，能利用公式进行三角函数的求值、化简、证明．体会换元、化归、方程等思想，提高学生的观察能力、推理能力和运算能力．

教育点：让学生亲身经历公式的推导过程，了解半角公式与倍角公式之间的内在联系，培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点；在探究和解决问题的过程中，培养学生细心观察、勇于探索、互相合作的精神．

自主探究点：通过二倍角公式的变形，探究半角的正弦、余弦、正切公式，利用和与差的正弦、余弦公式探究推导积化和差与和差化积公式．

易错易混点：三角函数值符号的判断和三角变换的灵活应用．

拓展点：通过三角变换改变函数式结构求函数最值问题．

二、引入新课

知识回顾：

问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式？

C() coscoscossinsin coscoscossinsin S() sinsincoscossin sinsincoscossin T() tantantan tantantan 1tantan1tantan问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式？

S2 sin22sincos C2 cos2cos2sin22cos2112sin2

T2 tan22tan1tan2 【师生活动】教师展示课件、提出问题，学生思考默写公式、并请学生板演公式．并明确本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．

【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点，更为学生自主探究铺平道路．在开课之初就让学生明确本节课所要研究的内容，让学生带着问题去学习，引发学生探究新知识的欲望，并使得教学过程自然流畅. 三、探究新知

探究一：

试以cos表示sin问题1：与

是22,cos22,tan22．

有什么样的关系？由此可以联想到我们学习过的哪个公式？

2的二倍，由此可联想到利用二倍角的余弦公式．

2问题2：从与2之间的关系出发思考cos与sin22有怎样的关系呢？如何建立这两个三角式之间的关系？ （2由cos=cos（2由cos=cos2）12sin2）2cos22，

得sin221cos，

2221，得cos221cos．

2因此

tan2221cos．

1coscos22sin2【设计意图】培养学生反思、总结的习惯；通过动手操作让学生进行独立的探究学习，提高学生的逻辑推理能力． 另解：因为是a的二倍角，

22在倍角公式cos212sin中，以代替2，即得 cos=12sin22代替，

2

2所以

sin221cos；

2在倍角公式cos22cos1中，以代替2，即得

cos=2cos22代替，

21，所以

cos221cos．

2所以tan2221cos．

1coscos22sin2【设计意图】引导学生理解角的倍、半间的关系，引导学生仔细体会，比较两种方法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通，灵活运用之功效． 问题3：已知cos，如何求sin、cos、tan？ 222sin21cos1cos1cos；cos；tan

22221cos师生共同进行总结，公式中的“”号由所在象限决定．

2【设计意图】通过自主探究引入半角公式，符合认知规律，学生容易接受；通过公式探究重点培养学生观察能力和灵活运用的能力，增强学生对三角公式的进一步理解．

问题4：代数式变换与三角变换有什么不同呢？

师生共同分析得出：

(1)代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；

(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．

【设计意图】引导学生对“所包含的角，以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点．并为解决本节课的重难点问题作铺垫，便于知识水到渠成的向前发展． 1ααα例1.

已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan . 322211－31－cos α1＋cos αα3α解：

sin ＝±

＝±

＝±，cos ＝±

＝±

22232211－31－cos αα2tan ＝±

＝±＝±. 2121＋cos α1＋3α∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．

2αα3α6α2当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；

2232322αα3α6α2当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－. 2232322例2求证：tan11＋36＝±，

232sin1cos 1cossin证明：方法一：sin1cos2sin2cos22cos22sin222tan 2cos2sin21cossin2sin2cos22tan，

2cos2sintan2sin1cos．

1cossin方法二：tan2sincos22sincos222cos2cos22sin 1costan2sincos2221cos，

sincos2sin222sin2sin

tan2sin1cos．

1cossincos与tan【设计意图】通过练习题给出了sin、伸．

探究二：求证：（1）sincos2的关系式，是对半角公式（例1结论）的进一步理解和延1sinsin；

2（2）sinsin2sin2cos2．

问题1：观察（1）式，从哪端入手更容易变形？

从右式出发容易变形，可以利用两角和（差）的正弦公式展开．

问题2：(1)式在结构上有什么特点？哪些公式中包含sinαcosβ、cosαsinβ呢？

sinsincoscossin； sinsincoscossin．

证明：因为sinsincoscossin；

sinsincoscossin．

两式相加得：2sincossinsin；

所以sincos1sinsin．

2问题3：能否利用（1）式的结果证明（2）式呢？比较（1）、（2）两式的结构形式，思考它们有什么区别和联系？

α+β）+sin(αβ）=2sincos． ①

证明：由（1）可得 sin( 设,，则2,2．

把,的值代入①式，即得

sinsin2sin 2cos2． 【设计意图】通过设问，能更好的发挥本例的教育功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，并在建立它们之间的联系进而消除不同点上下功夫，这样不仅有利于深化对和（差）角公式的理解，而且还有利于本例的两个小题的内在联系的认识．

问题4：回顾证明过程，我们都用到了哪些数学思想？

换元的思想．如把看作，看作，从而把包含,α,β的三角函数式变换成,的三角函数式．

【设计意图】通过对和差化积和积化和差公式的探究证明，使学生感受三角式结构上的同构特点，以及角、的三角函数与角，2的三角函数间的内在联系．另外，通过角、与、间的转换关系，体会数学上的对应转换、换元、方程等思想方法．

四、理解新知

1.半角公式与积化和差、和差化积公式不要求记忆，但要了解其推导过程，体会换元、化归、方程等思想方法，

需要用时可自行推导应用．

2.体会角的构造与变形在三角变换中的作用，逐步掌握构造角的技巧；充分观察角与角之间的内在联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式，将所求角的三角函数转化为已知角的三角函数，使“目标角”变成“已知角”． 五、运用新知

sin()sin()tan2例3求证：．

1sin2cos2tan2证明：证法一：

sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)sin2cos2sin2cos2 sincoscossincossintan11sin2cos2sin2cos2tan22222222 【设计意图】通过此例题让学生感知证明三角恒等式，一般要遵循由繁到简的原则，另外化弦为切与化切为弦也是在三角的恒等变换中经常使用的方法．

六、课堂小结 教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）

学生总结：1．知识：半角公式、积化和差公式、和差化积公式、三角恒等变换．

2．方法：转化、换元、方程等思想方法．

【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识；提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理．

七、布置作业 必做题：

P（2）、（4）、（8）；2；B组1．

143

习题3.2 A组 1、选做题：1. 若sin5,在第二象限,则tan的值为(

)

13211 D.

55A.5 B.5 C.3 2．已知sin2,02，求522cos22sin1的值．

2sin42 3．已知sincos2sin,sincossin答案：1．A． 2．解：sin2，求证：2cos2cos2． 34,02,cos2，

525

cossin1cossin1cossin1sin21原式

cossincossincossincos222sin4 3. 证明：（方法一）

cos212sin，2cos2212sin224sin2．

22sincos2sin，22cos22sincos2sin22sincoscos212sincos

又sincossin2, 2cos212sin2cos2

（方法二）：sincos2sin,sincossin2，

2且sincos12sincos12sin，

24sin212sin2, 41cos21cos212，

2221cos211cos2，

2cos2cos2．

【设计意图】通过适量的课后作业，复习巩固所学知识,也便于教师及时了解学生的掌握情况．书面作业的布置，设置了必做与选作两组练习，可以使学生在完成基本学习任务的同时，又能得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都能获得成功的喜悦，加强学习的自信心，从而激发学生的学习兴趣．课外思考探究活动有利于进一步激励学生学习的热情，探究新知的欲望，使课堂教学得以延伸．

八、教后反思 1.在本节课的教学中，力求使学生通过自主探究，独立思考，推导公式，总结规律，探究三角变换的常用方法，重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等．通过引导学生比较所证明的公式，找出异同点，加深记忆，通过总结证明公式的过程，不断提高学生利用三角变换进行三角函数式的求值、化简、证明的能力．

2.教学中突出学生的主体地位，把学习的主动权还给学生.通过巧妙地设计问题，恰当的语言启发引导学生自主探究，经过小组讨论、交流，概括得出结论，让学生感受取得新知识的成就感. 3.这节课学生感觉都能听懂但是在遇到实际题目的时候自己还是感觉无从下手，所以接下来要多做题加以巩固．

九、板书设计

3.2简单的三角变换（1）

一、半角公式

例1 例2 二、积化和差、和差化积公式

（1）

（2）

例3 复习 回顾

课堂小结：

学生默写公式