2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学内容

课题：平面向量正交分解及坐标运算

授课人：孙云璠

单位：嘉荫县第一中学

2.3 平面向量正交分解及坐标运算

教学时间：

课时：1课时

课标要求：1、理解平面向量的坐标概念，会写出给定向量的坐标。

2、掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算

3、理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线。

复习知识点：

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个______向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有_____λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_________. （3）由定理可将任一向量a在给出基底e1,e2 的条件下进行分解

（4）基底给定时，分解形式唯一，λ1,λ2 是被a，e1,e2

_________确定的量

2.两向量的夹角

(1)定义:已知两个

_____a和b,____-叫做向量a与b的夹角. (2)范围:向量a与b的夹角的范围是

__________

. (3)当θ=0°时,a与b _________

. (4)当θ=180°时,a与b__________

. (5)如果a与b的夹角是

________ ,则称a与b垂直,记作a⊥b. 3、向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯________个实数λ,使______

. 4、向量加减法三角形法则：口诀：首尾相连_____，连接终点______ 新课讲解：

知识探究1：

1.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a= (x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.

3.平面向量的坐标运算

已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), 即使训练：(向量的坐标运算)若向量a=(2,3),b=(-1,2),则a-b的坐标为(

) (A)(1,5)

(B)(1,1)

(C)(3,1) (D)(3,5) 例题1：在直角坐标系xoy中，向量a,b,c的模分别为2,3,4，分别求它们的坐标

知识探究2：

λa=

(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 证明：

知识探究3：

(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1), OB=(x2,y2),AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)= .即

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

【例2】

若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求AB+2BC, BC-

思考：若把向量OA平移到BC，则OA和BC的坐标相同吗？BC的坐标是C点的坐标吗？

1AC的坐标.

2

知识探究4：平面向量共线的坐标表示：

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当

时,a∥b.

即使训练：若A（3，-6），B（-5,2），C（6，y)三点共线，则y等于

A、13

B、-13

C、9

D、-9

例3、

已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?

例4、如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.