信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表国家获奖教案

两角差的余弦公式

一、教学目标论文网 /9/view-7134269.htm

（1）通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。

（2）理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。

（3）通过公式的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点

重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。

难点：探索过程的组织和引导，两角差余弦公式的探究思路的发现。

三、教学准备

学生：直尺、圆规等。

四、教学导图

创设情景，以实例引入课题

→ 明确探究目标及途径→组织学生自主探索→例题与练习→小结与作业。

五、教学设计

1. 展示实例

课本章头图3.1-1给出的问题，创设情景，引入课题。

设计意图：由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和（差）公式的需要。

师生活动：教师出示实例。组织学生使问题数学化。

学生――实例的关键是如何由cos15的值。

教师――可先引导学生用方程的思想分析求解该问题。进而启发学生如何用所学的三角学知识进行分析解决。

师生――将问题一般化，抽象概括出带有一般性的数学问题：探求单角与和角的三角函数值之间的关系，即对任意角α、β如何用α、β的三角函数值把α+β或α-β的三角函数值表示出来？为此，本节学习两角差的余弦公式这一具有奠基性的问题，从而引出本节课题。

2. 你认为= 正确吗？

设计意图：人们由于受思维定势的影响，往往以为此“分配律”成立，通过特意设置这个思考问题，让学生深刻认识到这一“习惯性”的结论的不正确性，

从而树立不能想当然、要理性思维的良好观念，并认识到要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。

师生活动：教师――提出上述问题，引导学生分析认识到，要验证一个等式是否成立，可以先通过特例进行初步验证，有一个特例不成立，就可断言结论不成立;若找不到反例，则可试着去证明它是成立的。

学生――尝试检验，取一些特殊角进行验证，例如α=60°，β=30°，判断出该“式”不是“恒”成立的。

教师――那么，如何用单角α、β的正弦、余弦值正确表示cos（α-β）呢？通过这个问题引起悬念，激起探索欲望。

3. 运用三角函数定义探索cos（α-β）的表达式

设计意图：通过提出用三角函数定义推导公式，学生会考虑单位圆上如何做出角α、β、α-β的三角函数线，教师利用投影或多媒体，积极引导学生经历“作角→找线→找等量关系”的探索过程。

师生活动：教师――数学上讲究从特殊到一般，从简单到复杂，对此问题，我们也不妨先从α、β、α-β三个角都为锐角的情形开始研究。我们可以借用的工具是什么呢？回到基础，从定义开始。

学生――在单位圆，作出角α、β的终边，从而做出角α-β的余弦线OM，如图3.1-1。

教师――现在，问题可转化为什么样的问题？只需要探究出来什么就可以了呢？

学生――学生基本能够指出，问题转化为：如何用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM？

教师――带领学生利用几何直观寻找OM的表达式，从而得出表达式。教师进一步指出，刚才的推导是在都为锐角这个特殊情况下进行的，所得结果是否任意角α、β都成立？教师可以用多媒体进行演示，让学生通过演示观察猜测结论。肯定结论之后，具体推广过程请同学们课下完成。

4. 能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？

设计意图：通过多角度分析，培养学生的自主探究能力。使学生对向量的坐标表示，向量的数量积有进一步的理解。同时，培养学生严谨的数学品质。

师生活动：教师――上面通过回归定义，我们推导出了两角差的余弦公式，还有其他办法吗？

学生――在平面直角坐标系xOy中作单位圆，以Ox为始边作角α，β，如图3.1-2，从而能写出交点A，B的坐标，由数量积坐标公式推导出cos（α-β）。尝试推导过程。

教师――引导学生分析整个推导过程，是否有不严谨之处？

师生――根据向量数量积的概念，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π，若α-β是任意角，则α-β也是任意角。事实上，α-β=2kπ+，或2kπ-

（k∈Z）.

∴cos（α-β）=cos=O・O对于，对于任意角α、β都有cos（α-β）。=cos αcosβ+sinαsinβ。

5. 归纳公式的结构特点

设计意图：使学生进一步熟悉公式，了解公式的结构特征，以便运用公式解决一些问题或推导其他公式。

师生活动：师生――共同分析公式结构特点：①任意角，②同名积，③符号反。

教师――此公式称为差角的余弦公式，简记为C（α-β）。

6. 自学例1，并解决思考题

设计意图：初步体验公式用法，增加对公式的理解，培养学生的自学能力。

师生活动：学生――求解过程独立完成。

教师――通过本例及思考题，点评①公式的正用和逆用，②角的拆分的多样性，③诱导公式的运用。并安排如下两个变式练习，来强化公式的记忆和理解。

变式练习：求值：（1）cos53°cos23°+

sin53°sin23°;（2）cos（+θ）cosθ+

sin（+θ）sinθ。

7. 自学例2，并完成P127练习第2～4题

设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应该注意的问题，明确思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。

师生活动：学生――认真审题，求解问题，注意步骤。

教师――对学生表述的步骤，是否规范作出必要的点评和要求。

递进思考：将例2的条件α∈（，

π）改为α∈（0，π），如何求cos（α-β）的值。

训练学生的分类讨论的思想，提高表达能力。

8. 练习：以知α、β为锐角，cosα=，cos（α+β）= ，求cos的β值

设计意图：培养学生灵活运用公式的能力，初步体会角的配凑技巧在三角问题解决中的作用。

师生活动：教师――引导学生比较公式，注意角β与α，α+β之间的关系。

学生――独立思考，不难得出β=（α+β）-β

教师――提问学生说出思路，最后进行解法点评。本题特点：①需要构造角，②需要研究角的范围。

9. 反思与升华

①

总结两角差的余弦公式的探索及证明思路;

②

应用公式求值时应注意问题是什么？

③

总结本节课所涉及的数学思想和办法。

设计意图：通过总结，使学生对本节课有一个全面的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生强烈的求知欲望。

师生活动：师生――探究公式的方法：①有简单到复杂，由浅入深;②由特殊到一般，抓主要问题探索;③进行反思，予以修正完善。

六、作业设计

作业：教课书P137习题3.1 A组第2～4题。

备选练习：1. 若cosα+cosβ=cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，求cos（α-β）的值。

解：∵cosα+cosβ=-cosγ

①

sinα+sinβ=-sinγ ②

①+②得：2+2+cos（α+β）=-

⒉

如何用cos（α-β）的表达式来探究（α±β）的其他三角函数？

七、教材设计说明

（1）本设计首先通过章头图实际问题的引入，让学生感受到研究和差公式

的必要，这样设计能够引起学生兴趣，引发矛盾冲突，同时明确了探究目标。

（2）本设计重点放在公式的推导上，分三个层次：一是直觉猜想，特殊验证;二是通过α、β为锐角（α>β）的特殊情况进行探究;三是对一般情形进行探究。这样设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是不断猜想、不断修正、从特殊到一般的思维过程。通过探究和证明不但培养了学生逻辑推理能力，而且培养了合情推理能力及创新能力，以及优秀的数学思维品质，体现了探究中“大胆猜想、小心求证”的教学思想，使数学的学习过程由冰冷的美丽化为火热的思考。

（3）关于例题与练习的处理，主要考虑到知识的基础性和方法的简单性，本设计安排为自学、自练方式，这样对学生养成良好的习惯有益。最后通过反思与升华，把学生的思考推向了更广阔的空间。