2.1.2 向量的几何表示教学实录

弥渡一中课堂教学设计与反思

（教师填写内容请用五号宋体字）

课题 向量加法运算及其几何意义

时间

2019.6.27 课时

1 325、329 班级

教师

李黎蓉

一、

教学目标

1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量. 2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等. 3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.

二、教学重难点

教学重点:向量加法的运算及其几何意义. 教学难点:对向量加法法则定义的理解.

三、教学过程

导入新课

2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课. 提出问题

①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？

②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?

图1 1

活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:

图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.

图2 改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗? 力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.

合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.

数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法. 讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.

图3 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. ②向量加法的法则: 1°向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点2

的向量即为和向量.0

位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.

2°向量加法的平行四边形法则

图4

如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 力的合成可以看作向量加法的物理模型. 提出问题

①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？

②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？

③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？

④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?

活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索. 讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a. ②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段. ③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边); 当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|; 当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|. 一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|. ④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a. 因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a. 如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c, 3

AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c). 综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.

图5

图6 应用示例

例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.

活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.

图7

图8

图9 解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA=a,AB=b,则OB=a+b. 作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,则OC=a+b. 变式训练

化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.

活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加. 解:(1)BC+AB=AB+BC=AC. (2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0. (3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA

=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0. 4

点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量. 例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字); (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).

图10

图11

活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系. 解:如图11所示,AD表示船速,AB表示水速,以AD、AB为邻边作速度. (2)在Rt△ABC中,|AB|=2,|BC|=5,

所以|AC|=|AB||BC|因为tan∠CAB=22ABCD,则AC表示船实际航行的225229≈5.4.

29,由计算器得∠CAB=70°. 2答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.

点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题. 变式训练

用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图12

活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅5

思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法. 证明:如图12,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=AO+OB,DC=DO+OC. AC与BD互相平分,AO=OC,OB=DO,AB=DC, 因此AB∥CD且|AB|=|DC|, 即四边形ABCD是平行四边形.

点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB=DC或AD=BC即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB与DC共线,且|AB|≠|DC|. 课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂. 作业

如图,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.

三、板书设计

6

四、教学反思

本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法

7