3.3.2 均匀随机数的产生教学设计实例

3.3.2 均匀随机数的产生

教学目标：

1.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法，会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 2.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.利用计算机产生均匀随机数，会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 3.激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观. 教学重点：掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法. 教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.

教学方法：

“导—议—讲—练—评”五步教学模式

课时安排

1课时

教学过程：

一、新课引入——导

必修三第三章研究的是概率的意义及其计算，请同学们思考四个问题. 问题1：什么是概率？概率与频率有何区别与联系？

问题2：求一个事件A发生的概率，有哪些方法？

学生回答：

试验法（人工试验和机器模拟也就是蒙特卡罗法）和公式法

古典概型的定义、特点及计算公式：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

对于古典概型，任何事件的概率为：

A包含的基本事件的个数

P(A)=

基本事件的总数

几何概型的定义、特点及计算公式：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.

实例：种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率. 解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：

69801 66097 77124 22961 74235 31516 29747 24945 57558 65258 74130 23224 37445 44344 33315 27120 21782 58555 61017 45241 44134 92201 70362 83005 94976 56173 34783 16624 30344 01117 这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共

9有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.

30问题3：古典概型除了用计算公式计算概率外还有什么方法？

在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,用整数表示试验结果，只需产生相应的整数随机数，统计某个整数的频数计算频率估计概率. 问题4：蒙特卡罗方法能模拟古典概型中的概率，能否模拟试验结果无限的试验呢？

如：向区间[0,2]投点，则点落在 [0,1]区间的概率是多少？

这个问题属于几何概型,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？引出本节课题：均匀随机数的产生. 二、自主探究、合作交流——议

1.什么是均匀随机数？均匀随机数有何特征？

2.如何用计算器、计算机产生均匀随机数？

3.如何用模拟方法求几何概型的概率？(重点)

4.如何用模拟实验估计不规则图形的面积？(难点) 活动：学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导. 三、讲授新课——讲

1.均匀随机数的定义及特征

定义：如果试验的结果是区间[a,b]内的任何一个实数，而且出现的任何一个实数是_等可能的,则称这些实数为均匀随机数. 特征：（1）随机数是在一定范围内产生的；

（2）在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等_. 2.均匀随机数的产生

计算器产生均匀随机数：我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法如下：

计算机产生均匀随机数：a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50, B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数. c.［a,b］上均匀随机数的产生：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换,X=X*(b-a)+a就可

以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的. 并用excel演示

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.

3、讲解例题

类型一：利用均匀随机数模拟试验求几何概型的概率

例1．假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

学生活动：记事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.可以用几何概型的计算公式计算；可以用转盘模拟试验；也可以用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+7,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+6.5,如果A+6.5

解法二：转盘模拟法（见教材138页）

解法三：均匀随机数模拟试验法（用EXCEL演示）

1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数. 2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A100,B2—B100,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A100,B2—B100的数均为［0,1］之间的均匀随机数.

用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了100次随机试验.

3.如果A+6.5

5.选定F1格,键入频数函数“=FREQUENCY（E1：E100,<=0）”,按Enter键,此数是统计E列中,小于等于0的数的个数,即父亲在离开家前能得到报纸的频数.

6.选定G1格,键入“=F1/100”,按Enter键,此数是表示统计100次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.

【归纳提升】本题有三种解法：

法一：几何概型计算公式；对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概型问题,利用几何概型公式求解.

法二：转盘模拟，用频率估计概率；

法三：利用均匀随机数模拟，用频率估计概率.利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求频率，用频率近似代替概率.其关键是设计好“程序”或者说“步骤”，并找到各数据需满足的条件. 类型二：利用均匀随机数模拟试验求平面几何图形的面积

例2．在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值. 解：法一：（见教材139页）

法二：（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）. （2）经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2.

（3）数出落在圆x+y=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=4N1（N代表落在正方形中的22N点（a,b）的个数）.

（EXCEL演示）

点评：可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.

例3．利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x所围成的部分）的面积. 2 解：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：

（1)产生两组0～1之间的均匀随机数，a1=RAND,b=RAND; （2）经平移和伸缩变换，a=2(a1-0.5); NS21（3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.所以 . N（EXCEL演示）

【归纳提升】根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘频率.

四、课堂练习：

1.下列说法与均匀随机数特点不符的是( ) A.我们常用的是[0,1]内的均匀随机数 B.它是一个随机数

C.出现每一个实数是等可能的 D.是随机数的平均数

12.在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y与x轴,x=±1围成的部分)的面积时,需要经2过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )

A.[-1,1], [0,1] B.[-1,1], [0,2] C.[0,1], [0,2] D [0,1], [0,1]

3．如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（

）

112211A. B. C. D. 2

x

五、课堂小结：

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 六、课后作业：

P142——A组——1,2,3题

七、板书设计

3.3.2

均匀随机数的产生

1、利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数

2、例题讲解

八、教学反思：