2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

平面向量的正交分解、坐标表示和坐标运算

鹤庆一中 杨志清

一、内容和内容解析

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有其深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。本节课是高中新课标必修④第二章向量中第三节平面向量基本定理基础上紧接着学习的内容，包括平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算。它是平面向量基本定理的应用，在平面直角坐标系内向量与坐标建立起一一对应，使向量兼具“形”“数”两方面特征，从而为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，同时为后续学***面向量的数量积奠定了基础。

其中：平面向量的正交分解是平面向量基本定理的深入，同时为平面向量坐标表示奠定理论基础；

向量的坐标表示既是平面向量基本定理的深化，又是实现向量坐标运算的基础，在学习了向量的坐标表示的定义之后，建立了向量的坐标与点的坐标的联系，实现了新旧知识的转化，便于学生全面把握向量的坐标概念；

有了向量的坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为数量运算，从而简化了思维过程。

引入向量的坐标运算，使几何问题代数化，实现“有效能算”思想，因此熟练掌握平面向量的坐标运算是本课的教学重点。

二、目标与目标解析

1、 理解平面向量的正交分解概念

2、理解与掌握平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点、终点坐标之间的关系

3、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法及数乘向量的坐标运算法则

（2）能熟练进行向量的坐标运算

三、教学问题诊断分析

学生在理解向量的坐标表示时会出现障碍，主要表现在：

1、向量和点都可以用坐标表示，易将向量的坐标与点的坐标相混淆。

2、对“相等向量的坐标相等”的理解不到位，特别是由有向线段表示的相等向量坐标间的关系。

其原因是：在学习向量坐标表示之前，学生已经理解点的坐标概念及其意义，明确了点的坐标与点在直角坐标系中的具体位置有关，受思维定势的影响，学生认为向量的坐标是由

表示向量的有向线段在平面直角坐标系中具体位置确定的，还有学生将向量和表示向量的有向线段相混淆，从而产生对向量坐标表示意义理解的偏差。

因此，对向量的坐标表示意义的理解是本课的教学难点。

四、学习行为分析

为了理解向量正交分解的概念和意义，在复***面向量基本定理的基础上，让学生寻找基本定理在物理学中作用的例子，感受向量正交分解的现实背景。

由于向量是一个抽象了的概念，学习向量的坐标表示时，仍要注意与向量的几何表示——有向线段联系起来，便于直观理解。同时，为防止学生对向量坐标表示理解的偏差，学习中要遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。通过对例题及变式的思考训练加深概念的理解，感悟向量与其坐标间的一一对应关系。

在探究平面向量的坐标运算法则中，先让学生回顾平面向量运算法则和运算律，通过自主探究与合作交流，促使学生对向量坐标运算法则的理解与记忆，再通过对具体问题的思考与训练，使学生能熟练进行向量的坐标运算，体会向量的“能算有效”性。

五、教学支持条件分析

为了直观理解向量坐标表示的意义，教学中可借助多媒体特别是几何画板软件展示向量几何表示与坐标表示的关系。在向量坐标运算中可利用实物投影仪展示学生的各种解法，有利于发现解题过程中的问题，总结解题规律。

六、教学过程设计

教学情景

1、教学内容：平面向量的正交分解

问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义

设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。

师生活动：学生口述，教师点评。

问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。

设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。

师生活动：学生思考并举例。教师给出向量正交分解的定义并简要说明作用。

力的分解：如图，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，这时其中可以分解为，即=，是平行于斜面的力，是垂直于斜面的压力。

，速度的分解：斜上抛物体的速度，可以分解为水平方向的匀速直线运动的速度竖直方向的上抛运动的速度，这时＝＋。

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。

2、教学内容：平面向量的坐标表示

问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。

师生活动：学生思考、猜想向量也可以用坐标来表示。由平面向量基本定理，分别选取与x轴，y轴同向的两个单位向量、作为基底。

问题4、如图，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。 设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。

师生活动：生：师：根据定理，对记=(2，3)

生：同理得

问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？

； ； ；

的坐标，，有唯一和它对应的实数对（2，3），我们称(2，3）为设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，

师生活动：学生思考作答，教师修整、完善。

平面向量的坐标表示的定义：在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，任意一个向量则称（x,y）为向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使的坐标。记作=（x,y）。

问题6、①写出、②如图，写出、的坐标；

的坐标，并分析它们间的，关系。

设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。

师生活动：学生思考作答，教师利用几何画板，拖动向量问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量，使其平移，但坐标不变。

的坐标是什么？

的坐标是什么？

（1） （2）

设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。同时渗透数结合思想，特殊到一般的思想。培养学生观察归纳、分析论证的能力。

师生活动：教师借助几何画板,拖动（1）中A点，由学生归纳得出（1）的结论：而（2）在教师引导下结合（1）利用向量减法的三角形法则由学生完成推导。

以原点为起点的有向线段表示的向量的坐标就是其终点坐标.即：=(x,y)A(x,y)

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．

即：若A(x1,y1) , B(x2,y2)

则= (x2-x1

, y2-y1)

3、教学内容：平面向量的坐标运算

问题8、当向量用有向线段表示时，我们可以对其进行加、减、数乘等运算，向量用坐标表示了之后，相应的运算法则是什么？即：若

设计意图：通过经历向量坐标线性运算法则的探究过程，加深学生对知识的理解与记忆，培养学生的逻辑思维能力以及积极思考、主动探究的优秀学习品质。

师生活动：学生练习并板演，教师点评，最后由学生给出法则的文字语言。

结论：若，则

。以，则加法为例进行证明（其余类似可得）：

即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

问题9、已知，求的坐标。

设计意图：熟悉向量的坐标运算公式。

师生活动：学生先练后讲，教师点评。

问题10、已知平行四边形ABCD的点A、B、C分别为（-2，1）、（-1，3），（3，4），求D点坐标。

变式：上题中将条件“平行四边形ABCD”改为“A、B、C、D四点构成平行四边形”，则结果又如何？

设计意图：进一步熟悉向量坐标运算公式，加深理解向量坐标的意义，在解题过程中，数形结合思想可以得到训练，向量的代数、几何联系得到加强。

师生活动：学生思考各种不同的解题思路，利用实物投影仪展示各种解法，教师指导学生比较各种解法的异同。解法1用方程思想，解法2直接通过向量运算，另外还可以用平行四边形对角线互相平分等方法来解。

变式：当平行四边形为ABCD时，由当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)

当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)

4、小结

①、请回答向量坐标表示是的定义和意义。

②、向量的坐标与点的坐标之间有什么联系？

③、请说出向量的坐标运算公式及其作用。

设计意图：使学生养成归纳总结的学习习惯，不断提高反思能力，体会知识的形成、发展、应用过程。

师生活动：在教师提问的基础上，让学生自己归纳总结，教师补充完善。

5、作业：

1、书面作业 课本P114 1、2、3 2、研究题：在平面斜坐标系xoy中，∠xoy=60?/SPAN>,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=x得D1=(2, 2)

+y，（其中,分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x,y）。如果P点斜坐标为（2，-2），求P到O的距离。