探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质特级教师教学实录

探究与发现：

利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

福建省永泰县第一中学 吴银仙

一、教学设计意图

人教版必修4第1.4.2 中，在学生掌握了任意角的三角函数概念，了解关于正弦线、余弦线、正切线的概念与作法之后，课本在学习正、余弦函数的性质时提出利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。因为学生在解决此问题时，由于缺乏动态的思维，难以快速、准确地判断出上述几个性质。本节课借助于几何画板生成关于三角函数线随着角的变化而变化的动态效果，让学生能够准确得到三角函数的一些简单性质，加深对三角函数线的理解，学会利用三角函数线解决问题。

二、教学目标描述

1、知识与能力：

①加深对三角函数线的认识，学会利用三角函数线解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力；

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。

2、过程与方法：

通过自主学习和协作学习培养动手与思考能力，以及对图形反馈的信息进行整理和加工的能力。培养归纳总结和实验探究的能力。

3、情感态度与价值观：

通过图形抽象的函数结论的统一，一维函数线与二维函数图像的对比，培养了对立统一的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养的合作精神和协作精神。

三、教学内容分析

本节课属于研究性学习课，具体内容是：让学生利用《几何画板》软件生成关于三角函数线的动态效果，从而增强利用三角函数线解决实际问题的能力。

学习的重点：探究角大小的变化与三角函数线（即相关的三角函数值）变化之间的变化规律。

学习的难点：分析出三角函数性质变化之后，进一步利用三角函数线解决问题。

四、教学对象分析

高一年级的学生有一定的电脑操作基础，可以自己操作电脑。但学生的操作水平参差不齐，特别是对数学软件《几何画板》不够熟悉，还不能进行操作，本节课的目标使学生能使用几何画板制作简单的几何图形，能在老师的指导下进行简单的操作。

学生通过对任意角的三角函数内容的学习，对三角函数线有一定的了解，有了知识方面的准备。本节课让学生自己操作软件，通过同学之间的相互协作及交流来发现规律。

五、教学策略及教法设计

根据内容特点，本堂课的教学策略是引导学生自主学习的探索研究式。对于教材提出的几个问题，在课前进行思考的基础之上，利用几何画板的动态效果，验证并解决问题。以此发展学生思维能力的独立性与创造性，使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。

六、教学环境设计

多媒体教室，PPT，几何画板；

七、教学过程设计与分析

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，借助数学软件《几何画板》的绘图功能生成关于三角函数线的动态效果，为学生营造一个自主学习的环境，让他们使用《几何画板》进行数学实验，探求新知、发现规律、从而解决问题。

过程设计

进程

教师行为

学生行为

备注

引导学生复习关在给出的图中指出角于三角函数线的相关概念：在给出α

的正弦线是

MP、的图中指出角α复习的正弦线、余弦旧知线、正切线。

并提打开课本P41：

出问利用单位圆中的三角函数线，探题

究：

①

正弦、余弦函数的周期

②

正弦函数和余弦函数的单调余弦线

OM、正切线

AT。

注意点：三角函数线是一个有向线段

回顾预习的过程和结果。

学生先预习和分析到结果，通过这节课的课堂进行验证。

性和最值。

③正弦函数和余弦函数奇偶性。

探究1：

正弦函数、余弦函数周期：

此时，教师进行操作示范指导。

学生利用几何画板，拖动角α

终边的点P，观现象：正弦线、余弦线在变化：周而复始出现。

察随着角α

的变化，正 弦线和余弦线的变化

结论：正弦线、余 弦线的周期2k。

探究2：

正弦函数、余弦函数在区间[0,2 正弦函数增区间：2k,2kkz；

22利用几何画板，拖动角π]上的单调性。

3（复习回顾：函数2k,2kkz；

22单调性的判断：主着角

α的变化，正弦线要是看函数值随余弦函数增区间：和余弦线的变化；

这自变量的增大2k,2kkz;

而增大，还是随着自变量的增大而减区间：2k,2kkz

减小）

探究3：

通过正弦线的变角x 与角

-x 的正弦线α

终边的点P ，观察随减区间： 化，你能发现正弦正弦函数是奇函数

一个方向相反，大小相函数是否具有奇等

偶性？

提问：余弦函数呢？是否同样具有奇偶性

角x 与角

-x 的余弦线是同一个有向线段

余弦函数是偶函数

问题1：不查表，比较大小。

24,sin

35(2) asin4,bcos,ctan551012（1）sin

问题2：利用三角函数线，求满足下列条件的的范围；

13

（1）sin

（2）cos

22 问题3：变化：已知x ∈

(0, 2π)，利用单位圆中的三角函数线，试解不等问题探究

式

sincos？

若sincos

思考1：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？

思考2：观察下列不等式：



sintan,sintan,sintan.666444333

你有什么猜想呢？如何证明呢？

三角函数线与三角函数值的对应相等，使三角函数值具有形象性。三角函课堂数的几个基本性质时三角函数内容最重要的部分，在以后的学习过程中，总结

通过对三角函数图像的学习，我们将更加的了解和掌握三角函数的这些基本性质。

八、教学反思：

利用几何画板，描述出函数线随着角的变化而变化的动态效果，学生能够更好的去理解基于动态的函数性质。在静态的板书教学过程中，由于时静态的表示三角函数值和三角函数线，学生只能靠想象去感觉三角函数线的变化，同时对于去理解基于动态的函数性质也同样有困难。