2.3.1 变量之间的相关关系优质课一等奖

（2）从散点图上看，即图1、2中的点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近，称两个变量之间具有

线性相关关系

，这条直线叫

回归直线

。图3、4中的两个变量是

非线性

相关关系

假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一个组数据（x1,y1），（x2,y2）...^^^（xn,yn）且所求回归方程是y=bx+a，其中b是回归方程的斜率，a是截距。则有

nn^(xix)(yiy)xiyinxyi1i1bnn2ˆbxa，则有设回归方程为y(xix)xi2nx2

，

i1i1^^a__ybx______________其中xx，yy，

iii1i1nn

通过上述方法而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫

“

最小二乘法

”

^^^（4）线性回归方程表示的直线y＝a＋bx必定过

样本中心点（x,y） 。

三、典型例题

例1：

5位学生的数学和物理成绩如下表：

学生 学科

数学

物理

2 A 80 70 B 75 66 C 70 68 D 65 64 E 60 62 画出散点图，并判断数学成绩与物理成绩是否有相关关系。

由散点图可见，两者之间有 相关 关系．

方法总结：判断变量之间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法是画散点图，散点图是由数据点分布构成，是分析研究两个变量相关关系的重要手段。从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是线性相关的。

例2：（2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据

x

y

3

2.5

4

3

5

4

6

4.5

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆbxa；

y (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：32.5435464.566.5) 解：

76543210012产量

（2）由散点图可见，这些点大致分布在一条直线附近, 因此两者之间有线性^^^相关 关系，可用公式求出回归方程．设回归方程为y＝a＋bx，

3 能耗345

制表如下：

ixi1 3

2.5

7.5

9

2 4

3

12

16

3 5

4

20

25

2i4 6

4.5

27

36

4合计

18 14 yixiyi66.5 86 xi2x= 4.5

，y= 3.5

，

xi14

86

，xiyi

66.5

i1ˆ66.544.53.566.5630.7

b8644.528681ˆ3.50.74.50.35

ˆYbXa故线性回归方程为y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨) 小结：知道x与y呈线性相关关系，则无须进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。

变式练习：（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下

父亲身高x（cm）

儿子身高y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177

则y对x的线性回归方程为

解答：解：∵=176，

=176，

4

(xx)(yy)(174176)(175176)000(178176)(177176)iini14(xx)ii15^n2(2)2020202228

b(xx)(yy)iii1(xx)ii15241

82ˆ176117688

ˆYbXa2^y＝0.5x＋88(注意与例2.对比二种公式不同的应用) 【规律技巧总结】求线性回归直线方程的步骤：

^^^第一步，设回归方程为y＝a＋bx

nn^(xix)(yiy)xiyinxyi1i1bnn2第二步，选择计算公式(xix)xi2nx2

i1i1^^aybx第三步，代入公式计算b,a的值；

第四步，写出直线方程．

四、当堂检测

1.下列关系不属于相关关系的是（ ）

A.人的年龄和身高 B.球的表面积与体积。

C．家庭的收入与支出。 D.人的年龄与体重。（改正）

2..对变量x,y有观测数据xi,yi（i1,2,

,10），得散点图；对变量u,v5

有观测数据ui,vi（i1,2,,10），由这两个散点图可以判断（ ）

Ａ．变量x与y正相关，u与v正相关

Ｂ．变量x与y正相关，u与v负相关

Ｃ．变量x与y负相关，u与v正相关

Ｄ．变量x与y负相关，u与v负相关

^3.已知变量x，y呈线性相关关系，回归方程为y＝0.5＋2x，则变量x，y是(

) A．线性正相关关系

B．由回归方程无法判断其正负相关

C．线性负相关关系

D．不存在线性相关关系

4.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(

) ^^^^

A.y＝－10x＋200

B.y＝10x＋200

C.y＝－10x－200

D.y＝10x－200

、

5.下列有关线性回归的说法，不正确的是（

）

A、变量取值一定时，因变量取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B、在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图

C、线性回归直线方程最能代表观测值之间的关系

D、任何一组观测值都能得到代表意义的回归直线方程

6.（山东理7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

4 2 3 5 广告费用x（万元）

销售额y（万元）

49 26 39 54 ˆ为9．4，据此模型预报广告费用为6万ˆbxaˆ中的b根据上表可得回归方程y元时销售额为

A．63．6万元

B．65．5万元

C．67．7万元

D．72．0万元

【答案】B x3.5,y42a429.43.59.1

y9.469.165.57.实验测得四组(x,y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为（

）

6 ^ˆ

Ａ．yx1 Ｂ．yx2 Ｃ．y2x1 Ｄ．yx1

8.(2011年高考广东卷第13小题) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 命中率y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这5天的平均投篮命中率为

0.5

；用线形回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为

0.53

．

9.(2013年重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄y（单位：千元）的数据资料，算得i1010xi110i80，yi20，i110xyii1i184，xi2720．

i1（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ybxa；

（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

解：(1)由题意知

1n801n20n＝10，xxi8，yyi2，

ni110ni110又lxx＝xi2nx2＝720－10×82＝80，

i1n

7

lxy＝xiyinxy＝184－10×8×2＝24，

i1n240.3，aybx＝2－0.3×8＝－0.4，

lxx80故所求回归方程为y＝0.3x－0.4. (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4由此得blxy＝1.7(千元)．

8