探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优秀教学实录

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函数y=Asin(ωx+φ)的图象

导学案

学习目标：1、理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

2、能将ysinx的图象变换到yAsin(wx)的图象，会根据条件求解析式. 教学重点：

讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响.

教学难点：: 由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 教学过程：

<引入>：从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系? 接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. （一）

探索φ对y=Asin(ωx+φ)，xR的图象的影响。【平移变换】

用“五点法”画出并观察函数ysin(x3),ysin(x)6与ysinx的图象关系。

（x)，xR（其中0）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的结论：函数ysin点_________（当>0时）或________（当<0时）平行移动____个单位长度而得到.

例1：把y=sinx的图象向左平移π/2个单位长度，得到的图象的解析式为（ ）

A．y=cosx

B.

y=sinx+π/2

C.

y=sinx–π/2

D.

y=

–cosx

例2：将函数y=cosx的图象向右平移π/3个单位长度，所得图象的解析式是（ ）

A.

y=cosx+π/3

B.

y=cosx–π/3

C. y=cos(x+π/3)

D. y=cos(x–π/3)

例3：（12.高考）要得到y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象（

）

A. 向左平移1个单位

B. 向右平移1个单位

C. 向左平移1/2个单位

D. 向右平移1/2个单位

(二)

探索ω对y=Asin(ωx+φ)，xR的图象的影响。【周期变换】

用“五点法”画出并观察函数y=sin2x，y=sin 2

x与y=sinx的图象关系。

结论：

函数ysinx,xR（其中>0且1）的图象，可以看作是把正弦曲线上1所有点的横坐标______________（当>1时）或______________（当0<<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到. 例4：函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y=cosωx，则ω的值是（ ）

1A.

2

B.

C.

4

D.

1/4

2例5：将函数y=cosx图象点的横坐标缩短为原来的1/4倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为______________

（三）探索A对y=Asin(ωx+φ)，xR的图象的影响。【振幅变换】

用“五点法”画出并观察函数y=2sinx，y= 1

sinx与y=sinx的图象关系。

21结论：函数yAsinx,xR(A>0且A1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标__________（当A>1时）或_________（当0

1

例6：已知函数y=3sinx的图象为C,为了得到函数y=4sinx的图象，只要把C上所有的点（

）

A.横坐标伸长到原来的4/3倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的3/4倍，纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的4/3倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的3/4倍，横坐标不变

（四）探索正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换方法。

探究如何由y=sinx变换得y=3sin(2x+π/3)的图象。

x),xR其中的（A>0,>0）的图象，可以看作用结论：一般地，函数yAsin(下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点______（当>0时）或_______（当<0时）平行移动____个单位长度，再把曲线上各点的横坐标_______（当>1时）或_______（当0<<1）到原来的____倍（纵坐标不变），最后把所得各点的纵坐标____________（当A>1时）或_________（当0

（1）向左平移π/3个单位长度.（2）向右平移π/3个单位长度. (3) 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 . （4）横坐标缩小到原来的1/2倍，纵坐标不变.

则由函数y=sinx的图象得到y=sin(2x+π/3)的图象，可以实施的方案是（

）

A. (1)→(3)

B.(1)→(4)

C.(2)→(3)

D.(2)→(4) 练习2.（13年学考）把函数y=cos x的图象上的所有点向左平移π/4个单位长度，然后把图象的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，则所得图形对应的函数解析式为(

) A. y=cos(

x+π/4)

B. y=cos(2x+π/2)

C. y=cos( 2

x+π/8)

D.y=cos(2x+π/4) 练习3.将正弦曲线上各点向左平移π/3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为（ ）

121xxxA、ysin() B、ysin() C、ysin() D、ysin(2x)

2332623练习4. 把函数y=sin(3x–π/4)的图象向左平移π/3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象的解析式为（ ）

A. y=sin(3x+π/12)

B. y=sin(6x+3π/4)

C. y=sin(x+π/12)

D. y=sin(x+3π/4)

课堂小结：一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响, A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

二、函数

y = sinx 的图象与函数

y=Asin(x+)的图象间的变换关系

作业：用“五点法”作出函数y=2sin（

1

x+π/4）的图象，并说明如何由正弦曲线y=sinx的2图象变换得到？

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