2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

[学习目标]

1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

知识点一

平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．

→(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，→y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．

思考

根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1.

答案

a＝(2,3)，b＝(－2,3)，c＝(－3，－2)，

d＝(3，－3)．

知识点二

平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

→→(4)已知向量AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)．

→→→思考

已知a＝OA，b＝OB，c＝OC，如下图所示，写出a，b，c的坐标，并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．

答案

易知：a＝(4,1)，b＝(－5,3)，c＝(1,1)，

→→→OD＝a＋b＝(－1,4)，BA＝a－b＝(9，－2)，OF＝a－3c＝(1，－2)．

题型一

平面向量的坐标表示

例1

已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，→→→→D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标．

解

如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

13∴C(1，3)，D(，)，

22→→∴AB＝(2,0)，AC＝(1，3)，

→BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，

333→1BD＝(－2，－0)＝(－，)．

2222

反思与感悟

1.向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．

2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．

跟踪训练1

在例1的基础上，若E为AB的中点，G为三角形的重心时，→→→→如何求向量CE，AG，BG，GD的坐标？

133解

由于B(2,0)，E(1,0)，C(1，3)，D(，)，G(1，)，

223→所以CE＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，

3→AG＝(1，)，

333→BG＝(1－2，－0)＝(－1，)，

3313313→GD＝(－1，－)＝(－，)．

22326题型二

平面向量的坐标运算

→→→→→例2

已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)AB－AC；(2)AB＋2BC；(3)BC－1→AC. 2解

∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．

→∴AB＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，

→AC＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，

→BC＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．

→→∴(1)AB－AC＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．

→→(2)AB＋2BC＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．

1→1→(3)BC－AC＝(－8,4)－(－10,14)＝(－3，－3)．

22反思与感悟

(1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．

跟踪训练2

已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：

11(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 23解

(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．

(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．

1111(3)a－b＝(－1,2)－(2,1) 232312172－，1－，＝－，. ＝23363题型三

平面向量坐标运算的应用

→→→例3

已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，

(1)点P在一、三象限角平分线上；

(2)点P在第三象限内．

解

设点P的坐标为(x，y)，

→则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

→→AB＋λAC＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

→→→∵AP＝AB＋λAC，

x－2＝3＋5λ，x＝5＋5λ，∴则

y－3＝1＋7λ，y＝4＋7λ.

(1)若P在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，

1∴λ＝. 25＋5λ<0，(2)若P在第三象限内，则∴λ<－1. 4＋7λ<0，

1∴λ＝时，点P在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P在第三象限内．

2反思与感悟

1.待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．

2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．

跟踪训练3

已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．

解

不妨设A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)．第四个顶点为D(x，y)．

则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．

→→(1)当平行四边形为ABCD时，AB＝DC，

设点D的坐标为(x，y)，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，x＝0，∴

∴

－2－y＝－1，y＝－1.

∴D(0，－1)；

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

坐标法解决向量问题

→→→例4

已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c. 分析

注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐标系求向量坐标．

→解

如图，以O为原点，OA为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，

由三角函数的定义，得B(cos 150°，sin 150°)，C(3cos 240°，3sin 240°)．

即B(－31333，)，C(－，－)，

2222又∵A(2,0)，

故a＝(2,0)，b＝(－31333，)，c＝(－，－)．

22223333131设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，∴(－，－)＝λ1(2,0)＋λ2(－，)＝(2λ1－λ2，λ2)，

222222，2λ－23λ＝－32∴133λ＝－，22122

λ1＝－3，∴

λ2＝－33.

∴c＝－3a－33b. 点评

解决一些与向量有关的问题时，可利用方程思想，设出未知数，然后通过向量的坐标运算求解．

1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b等于(

) A．(7,3)

B．(7,7)

C．(1,7)

D．(1,3) 答案

A

1→→→2．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是(

) 21－4，

A.2C．(－8,1)

答案

A 11→→→→－4，. 解析

∵AB＝OB－OA＝(－8,1)，∴AB＝22→→3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为(

) 712，

B.2，－

C．(3,2)

D．(1,3) A.22答案

A →→解析

设D点坐标为(x，y)，则BC＝(4,3)，AD＝(x，y－2)，

x＝24＝2x，→→由BC＝2AD得∴73＝2y－2，y＝214，－

B.2

D．(8,1)

7，∴D(2，)．

24．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________. 答案

7 2m＋n＝9m＝2解析

由，解得. －3m＋2n＝4n＝5

5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d. 解

∵4a,4b－2c,2(a－c)，d能首尾相接构成四边形，

∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，

∴6a＋4b－4c＋d＝0

∴d＝－6a－4b＋4c

＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2) ＝(－2，－6)．

1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．

2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向→量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB＝(xB－xA，yB－yA)．

3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．

一、选择题

1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于(

) A．(－2，－1)

`B．(－2,1) C．(－1,0)

D．(－1,2) 答案

D 2．已知a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) A．(－2，－2)

B．(2,2) C．(－2,2)

D．(2，－2) 答案

D 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(

) A．－2,1

B．1，－2 C．2，－1

D．－1,2 答案

D 解析

由λ1＋2λ2＝3，

λ1＝－1，2λ＋3λ解得2.

12＝4.λ2＝4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP→＝1→2MN，则点P的坐标为(

) A．(－8,1)

B.1，32

C.－1，－32

D．(8，－1) 答案

C 解析

设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝12×(－8,1)，

∴x＝－1，y＝－32. 5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→等于(

A．(－2，－4)

B．(－3，－5) C．(3,5)

D．(2,4) 答案

B )

→→→解析

∵AC＝AB＋AD，

→→→∴AD＝AC－AB＝(－1，－1)．

→→→∴BD＝AD－AB＝(－3，－5)．

→→→→6．向量AB＝(7，－5)，将AB按向量a＝(3,6)平移后得向量A′B′，则A′B′的坐标形式为(

) A．(10,1)

C．(7，－5)

答案

C →→解析

A′B′与AB方向相同且长度相等，

→→故A′B′＝AB＝(7，－5)．

二、填空题

→7．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________．

34，－

答案

55→→→解析

∵AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

4AB3→∴与AB同方向的单位向量为＝5，－5. →|AB|1→1→8．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则AC－BC的坐标是________．

24答案

(－3,6) →→9．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝________. 答案

11

2B．(4，－11) D．(3,6) →→解析

∵AC＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，

→BD＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

→→又2BD＝AC，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

x＝，2x－4＝－1，∴

解得22y－6＝2，

3y＝4，

11∴x＋y＝. 210．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐

标为________．

答案

(7，－6) →→解析

设D(x，y)，由AD＝BC，

∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．

∴x＝7，y＝－6. 三、解答题

11．已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，c＝(1,2)，求p＝2a＋3b＋c，并用基底a、b表示p. 解

p＝2a＋3b＋c

＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．

设p＝xa＋yb，则有

2x－y＝2x＋3y＝13

x＝7，解得24y＝719

. 1924∴p＝a＋b. 77→→12．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．

→→解

设P点坐标为(x，y)，|AP|＝2|PB|. →→当P在线段AB上时，AP＝2PB. ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，

x＝，x－3＝－2－2x，∴解得3y＋4＝4－2y，

1y＝0.

1∴P点坐标为(，0)．

3→→当P在线段AB延长线上时，AP＝－2PB. ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，

x－3＝2＋2x，x＝－5，∴解得

y＋4＝－4＋2y，y＝8.

1综上所述，点P的坐标为(，0)或(－5,8)．

31→→1→→→13．已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA，求点C、D和CD的坐标．

33解

设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由题意可得AC→＝(x→1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，

DA→＝(－1－x→2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．

∵AC→＝11→3AB→，DA→＝－3BA，

∴(x2)＝11＋1，y1－3(3,6)＝(1,2)．

∴(－1－x12,2－y2)＝－3(－3，－6)＝(1,2)，

则有x1＋1＝1，

－1－x2＝1，y1－2＝2和2－y

2＝2，解得x1＝0，

x2＝－2，y和

1＝4y2＝0.

∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，∴CD→＝(－2，－4)．