原（逆）命题、原（逆）定理优质课教学设计

17.2勾股定理的逆定理

第一课时

教学目标

1．初步了解互逆命题的概念及内涵，理解勾股定理的逆定理．

2．会用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

教学重难点

重点：勾股定理的逆定理及其应用．

难点：探究勾股定理的逆定理．

教学过程

一、情境引入

多媒体呈现：据说，古埃及人用教材图17.2－1的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．

教材图17.2－1

【问题1】

第4个结处的角是什么角？在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？这其中包含了什么数学道理？

二、互动新授

让学生用棉线模仿古埃及人，用打结的方法进行实验．

学生经过实验操作，小组交流、探讨，初步归纳发现的结果：如果围成三角形的三边长分别是3，4，5，那么围成的三角形是直角三角形．(如果三边长是2，5，5，那么就不能围成直角三角形) 22再画画看，如果三角形的三边长分别是2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.5＋62＝6.5”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试．

【问题2】

根据上面的几个例子，你能提出一个数学命题吗？

学生通过计算、测量、交流后，得出命题：

222命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

教师分析：这个命题与上节课所学的勾股定理的题设、结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题．那么另一个叫做它的逆命题．

【问题3】

若原命题为“同位角相等，两直线平行”，那么它的逆命题是什么？如果原命题正确，那么逆命题也一定正确吗？为什么？

学生经过交流讨论后，教师予以评析．

【问题4】

从以上的学习，我们知道，△ABC中，如果a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，222三边之间存在a＋b＝c的关系．△ABC应该是直角三角形，那么我们要如何证明呢？

教师分析：要直接证明某个角是直角有一定的难度，可以考虑采用其他策略，如用我们较为熟悉的三角形全等来证明．

我们可以先画一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝3，A′C′＝4，假如△ABC与△A′B′C′完全重合(全等)的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢？

学生尝试去解决问题(可以让学生参照教材P32页的证明方法)．

学生探究、讨论后，师生共同总结：

用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理．我们把这个定222理叫做勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．它是判定直角三角形的一个依据．

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．

【例1】

判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

(2)a＝13，b＝14，c＝15. 【分析】

根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．

222【解】 (1)因为15＋8＝225＋64＝289，17＝289，

222所以15＋8＝17，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．

222(2)因为13＋14＝169＋196＝365，15＝225，

222所以13＋14≠15，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形．

三、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

222本节课主要学习了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

四、板书设计

17．2

勾股定理的逆定理

第一课时

a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长

直角三角形．

[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

五、教学反思

在本节课的教学中，力争培养学生的“数学思考”能力，让学生从数学的角度思考问题，从“求异”的方向去思考问题．关于互逆命题的教学，由于本课时只是对此概念作简单的介绍，仅要求对互逆命题能作出判断，基于此，数学中并没有对学生在互逆命题的真假判断上提出更多的要求．

本节课对于勾股定理逆定理的证明，教师只是充当了学生学习的引导者的角色，适时点拨，安排“学生通过动手操作来验证两个三角形重合”与较为严密的“推理论证”，实现让学生在学习过程中“各取所需”，也让不同的学生在数学上有不同的发展．同时，较好地培养和发展学生的推理能力．

导学方案

一、学法点津

学生运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的方法是：(1)先确定最长边，算出最长边的平方；(2)计算另两边长的平方和；(3)看最长边长的平方与另两边长的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．

二、学点归纳总结

1.知识要点总结

（1）逆命题和逆定理．

有两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题．

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

222（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

2.规律方法总结

（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题．若一个命题是正确的，它的逆命题不一定正确．

（2）经过证明被确认为正确的命题叫做定理，一个定理不一定有逆定理．

（3）勾股定理的逆定理的作用是判断一个三角形是否为直角三角形．勾股定理的逆定理经常与勾股定理综合运用，一般先用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算或证明．

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列命题中，正确的有(

)．

①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形；②真命题的逆命题是真命题；③原命题是假命题，它的逆命题也是假命题；④勾股定理与其逆定理是互逆定理．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．下列三角形中，不是直角三角形的是(

)．

A．三内角之比为1∶2∶3

B．三边长分别是0.3，0.4，0.5 C．三边长之比为2∶2∶3

D．三边长分别为11，60，61 3．三角形三边之比分别为：①1∶2∶3；②3∶4∶5；③1.5∶2∶2.5；④4∶5∶6.其中可以构成直角三角形的有(

)．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题

4．三角形三边长分别是6，8，10，那么它最短边上的高为__________．

5．一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是__________．

6．下列命题中，其逆命题成立的是__________(填序号)．

①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数222相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形．

三、解答题

17．如图，在正方形ABCD中，点F为DC的中点，点E为BC上一点，且EC＝BC.求证：2AF⊥EF. [来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

Ｋ

8．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如下图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．

Ｋ

【参考答案】

一、1.B 2.C 3.B 2二、4.8 5.30cm

6.①④

aa13三、7.证明：连接AE，设正方形边长为a，则DF＝FC＝，EC＝，BE＝a－a＝a. 2444a2a2522在Rt△ECF中，EF＝＋＝a. 2416a25222在Rt△ADF中，AF＝a＋＝a. 243225222在Rt△ABE中，AE＝a＋a＝a. 416222∴AF＋EF＝AE，∴∠AFE＝90°，∴AF⊥EF. 8．解：△ABC是直角三角形．理由如下：

222222∵AB＝2＋1＝5，BC＝2＋4＝20，

222AC＝3＋4＝25 222∴AC＝AB＋BC，

∴△ABC是直角三角形．

第二课时

教学目标

1．进一步理解勾股定理的逆定理．

2．会用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

教学重难点

重点：勾股定理及其逆定理的应用．

难点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题．

教学过程

一、情境引入

【问题1】

请回顾并叙述勾股定理及其逆定理．

【问题2】

我们已经学会了运用勾股定理及其逆定理来解决哪些实际问题？

学生回顾、交流，派代表回答，教师及时点评、补充．

二、互动新授

【例2】 如教材图17.2－3，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16n mile，“海天”号每小时航行12n mile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

教材图17.2－3 学生读图，理解题意．

教师引导学生将实际问题转化为数学问题，分析已知条件，寻求解决问题的策略．

【分析】

在教材图17.2－3中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

【解】

根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30. 222222因为24＋18＝30，即PQ＋PR＝QR，所以∠QPR＝90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，(点S为QR与港口正北方向的交点)．所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．

三、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

本节课主要学习了勾股定理逆定理的应用：在解决实际问题时，常先画出图形，将实际问题转化为数学问题，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，再解答问题．

四、板书设计

17．2

勾股定理的逆定理

第二课时

勾股定理逆定理的应用：勾股定理的逆定理可用来判断三角形是否为直角

三角形．生活中有许多问题都可以转化为直角三角形问题，在解决实际问题时，关键是根据题意画出图形，再找出对应的各量，运用有关知识计算求解．

五、教学反思

本节课是勾股定理及其逆定理的综合应用课．教学中，着重以学生尝试解决问题为目的，侧重在学生尝试后进行讲评．在教师的点拨与分析的基础上，师生共同寻找解题的思路．在教学中，还要注重学生之间的交流、反思，让学生在交流中受益，在反思中提高．

通过本节课的教学，要让学生明晰：生活中有许多问题都可以转化为直角三角形问题，勾股定理及其逆定理不仅在数学中，而且在其他自然学科中也被广泛应用，如解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理解决问题．在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题．

导学方案

一、学法点津

勾股定理和它的逆定理是一对互逆定理，勾股定理的作用是证明或求直角三角形的三边长的数量关系，而勾股定理的逆定理的作用是判断三角形是否为直角三角形．生活中有许多问题都可以转化为直角三角形问题，在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题．

二、学点归纳总结

1.知识要点总结

勾股定理的逆定理的应用：生活中有许多问题都可以转化为直角三角形问题，勾股定理及其逆定理不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．如解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理解决问题．

2、规律方法总结

用勾股定理的逆定理解决实际问题的关键是建模，将实际问题转化为数学问题，即在解决实际问题时，常先画出图形，根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题．

第二课时作业设计

一、选择题

2221．△ABC中，如果三边满足关系BC＝AB＋AC，则△ABC的直角是(

)．

A．∠C

B．∠A

C．∠B

D．不能确定

222．三角形的三边长a，b，c，满足(a＋b)－c＝2ab，则此三角形是(

)．

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形

3．如图所示，点A，B，C分别表示三个村庄，AB＝800米，BC＝600米，AC＝1000米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在(

)．

[来源:Z.xx.k.Com]

A．AB中点

B．BC中点

C．AC中点

D．∠C平分线与AB的交点

二、填空题

4．已知△ABC的三边长分别为17，8，15，则此三角形的面积为__________．

5．已知两条线段的长分别为3cm，4cm，当第三条线段的长为__________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

26．若△ABC的三边长a，b，c，满足关系式(a＋2b－44)＋|b－10|＋c－26＝0，则△ABC是__________三角形．

三、解答题

2227．若△ABC的三边长a，b，c，满足a＋b＋c＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC

的形状．

8．某工程队的工程测量人员在规划一块如下图所示的土地时，在BC上有一座古建筑D，使得BC不能直接测出，工作人员测得AB＝130m，AD＝120m，BD＝50m，在测得AC＝150m后，测量工具出现故障，使得DC无法直接测出．问你有办法知道DC的长度，进而得出BC的长度是多少吗？

【参考答案】

一、1.B 2.A 3.C 二、4.60 5.5或7 6.直角

222222三、7.解：由a＋b＋c＋338＝10a＋24b＋26c，得a－10a＋25＋b－24b＋144＋c－22222226c＋169＝0.即(a－5)＋(b－12)＋(c－13)＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13，∵5＋12＝13，222∴a＋b＝c，∴∠c＝90°，即△ABC是直角三角形．

2228．解：在△ABD中，因为AB＝130m，AD＝120m，BD＝50m，所以AB＝AD＋BD，由勾股定理的逆定理可知△ABD为直角三角形，即AD⊥DC.又因为AC＝150m，AD＝120m，由此可算2222出DC的长，DC＝AC－AD＝150－120＝90(m)．则BC＝BD＋DC＝50＋90＝140(m)．