小结优质课教案

3.2.1

古典概型

项目

内容

3.2.1

古典概型

课题

（共

1

课时）

1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神. 教学

2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,目标

归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）=

备注

A包含的基本事件个数的使用条件——古典概型,总的基本事件个数体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.

教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 教学重、

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某

难点

随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

教学

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准备

导入新课

教学过

实验1：掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝程

上”,它们都是随机事件.

试验

2：掷一颗均匀的骰子一次，观察出现的点数有哪几种结果？

思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？

1

为此我们学习古典概型,教师板书课题. 推进新课

新知探究

提出问题

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数,再利用数学软件模拟“正面向上”，“反面向上”事件的概率；

试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数

（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？

（2）根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？

（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？

（4）什么是古典概型？它具有什么特点？

（5）对于古典概型,应怎样计算事件的概率？

活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受. 讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差. （2）上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是1. 6（3）根据以前的学习,上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”,它们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”,它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件（elementary event）；它是试验的每一个可能结果. 基本事件具有如下的两个特点：

①任何两个基本事件是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 2

（4）在一个试验中如果

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型. 向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满足古典概型的第一个条件. 如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件. （5）古典概型,随机事件的概率计算

对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即

P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）

由概率的加法公式,得

P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1. 3

因此

P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=

即上”)=P（“出1. 2现正面朝1"出现正面朝上"所包含的基本事件的个数. 2基本事件的总数

试验二中,出现各个点的概率相等,即

P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）.

反复利用概率的加法公式,我们有P（“1点”）+P（“2点”）+P（“3点”）+P（“4点”）+P（“5点”）+P（“6点”）=P（必然事件）=1.

所以P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=1. 6

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,

P（“出现偶数点”）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=11131++==. 66662P（“出现偶数点”）

即=3"出现偶数点"所包含的基本事件的个数. 6基本事件的总数因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）=A所包含的基本事件的个数. 基本事件的总数在使用古典概型的概率公式时,应该注意：

①要判断该概率模型是不是古典概型；

②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 下面我们看它们的应用. 应用示例

4

例1

从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？

活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解：基本事件共有6个: A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法. 分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举. 例2

单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？

活动：学生阅读题目,搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.

解：这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件共有4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）="答对"所包含的基本事件的个数1=0.25. 基本事件的总数4点评：古典概型解题步骤: （1）阅读题目,搜集信息；

（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；

（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；

（4）用公式P(A)=

5

m求出概率并下结论. n

变式：

1.假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题，他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知识的可能性大？

2.如果该题是不定项选择题，假如考生也不会做，则他能够答对的概率为多少？此时比单选题容易了，还是更难了？

（引导学生回答）

例3

同时掷两个骰子,计算：

(1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?

解：(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种. (2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果. (3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=知能训练

智慧课堂训练，并及时进行反馈，评价

拓展提升

课堂小结

1.古典概型

我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. 6

41. 369

2.古典概型计算任何事件的概率计算公式

P（A）=A所包含的基本事件的个数. 基本事件的总数3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表）,应做到不重不漏.

作业

A必做题：课本45页，练习１、３；

习题2.3

第２题（３、４）

B选做题：

1.欲寄出两封信，现有两个邮箱供选择，则两封信都投到一个邮

箱的概率是___________

2.在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取出一张卡片，记下它的读数y。试求：

（1）x+y是10的倍数的概率；

（2）xy是3的倍数的概率。

板书设

计

本节课的教学通过提出问题,引导学生发现问题,经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念,由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能教学反力. 思

在解决概率的计算上,教师鼓励学生尝试列表和画出树状图,让学生感受求基本事件个数的一般方法,从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.由此,整个教学设计可以在教师的期盼中实施.

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