探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学实录及点评

1．函数y＝sin |x|的图象(

)．

A．关于x轴对称

C．关于y轴对称

解析

∵x∈R，

且f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)．

∴函数y＝sin |x|是偶函数，图象关于y轴对称．

答案

C 2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(

)．

11A.50

B．50

C.100

D．100

[来源学科网]B．关于原点对称[来源:Z。xx。k.Com]

D．不具有对称性

2π2π1解析

由题知T＝ω＝100π＝50. 答案

A ππ3．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在－2，2上的交点有(

)．

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

π解析

当x＝0时，sin x＝0，tan x＝0，(0,0)为两函数图象的交点，当x∈0，2时，tan x>sin x，两函数图象无交点．

π当x∈－2，0时，tan x

所以所求交点只有1个．

答案

D 34．振动量函数y＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π和2，则它的相位是________．

122π解析

T＝f＝3，∴ω＝T＝3π，

∴相位ωx＋φ＝3πx－π.

答案

3πx－π

π5．函数y＝tan 2x－3与y＝－a(a∈R)的交点中距离最小为________．

ππ解析

y＝tan 2x－3与y＝－a的交点中距离最小为一个周期T＝2. π答案

2

6．如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(0<φ<2π)．

(1)求这段时间的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

解

(1)由图可知，这段时间的最大温差是

30－10＝20(℃)．

(2)∵从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，

1π1∴2T＝14－6，∴T＝16，ω＝8，A＝2(30－10)＝10，

1πb＝2(30＋10)＝20，此时y＝10sin 8x＋φ＋20. 3π将x＝6，y＝10代入上式，得φ＝4，

π3π综上所求的解析式为y＝10sin8x＋4＋20，x∈[6,14]．

综合提高

限时25分钟

7．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s

cm和时间t s的π2πt＋函数解析式为s＝6sin ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(

)．

6[来源:Zxxk.Com]

A．2π s

B．π s

C．0.5 s

D．1 s 2π解析

单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，∵ω＝2π，∴T＝2π＝1 s. 答案

D ππ8．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝4对称；③在0，4上是增函数”的一个函数是(

)．

xA．y＝sin 2

C．y＝sin

2x

解析

最小正周期为π，可排除A、D；B、C的周期均为π，

πππ但当x＝4时，cos 2×4＝cos 2＝0，

π∴x＝4不是y＝cos 2x的对称轴，排除B. 答案

C 9．(2012·盐城高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转．当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．

dππt2πt解析

经过t s秒针转了30t rad.由图知sin60＝5，所以d＝10sin60. [来源学&科&网]B．y＝cos 2x

xD．y＝cos 2

πt答案

10sin60

10．(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基

π础上，按月呈f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．

T2ππ解析

由题可知2＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝T＝4. 5＋92＝B，又9－52＝A，

A＝2，∴

B＝7.

π即f(x)＝2sin 4x＋φ＋7(*) 3π又过点(3,9)，代入(*)式得sin 4＋φ＝1. 3ππππ由4＋φ＝2，且|φ|<2，∴φ＝－4，[来源:Z.xx.k.Com]

ππ即f(x)＝2sin 4x－4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．

ππ答案

f(x)＝2sin 4x－4＋7(1≤x≤12，x∈N*) 11．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．

设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：

(1)求函数p(t)的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．

2π2π1解

(1)T＝|ω|＝160π＝80

min. 1(2)f＝T＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg，

p(t)min＝115－25＝90 mmHg.

即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg，比正常值稍高．

12．(创新拓展)某海滨浴场的海浪高度y

(米)是时间t(0≤t≤24) (小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：

t(时)

y(米)

0

1.5

3

1.0

6

0.5

9

1.0

12

1.5

15

1.0

18

0.5

21

0.99

24 1.5 (1)选用一个函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y

(米)与t时间(小时)的函数关系；

(2)依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？

解

(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下：

依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y (米)与t时间(小时)的函数关系．

从表中数据和散点图可知，A＝1.5－0.512ππ＝，T＝12，所以＝12，得ω＝22ω6.又h1.5＋0.51π＝2＝1，于是y＝2sin6t＋φ＋1.由图可知，点(0,1.5)是“五点法”中的第πππ二点，即6×0＋φ＝2，得φ＝2，

1ππ1π从而y＝2sin6t＋2＋1，即y＝2cos 6t＋1. 1π(2)由题意可知，当y≥1时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，所以2cos 6t＋1≥1，ππππ即cos 6t≥0，所以2kπ－2≤6t≤2kπ＋2(k∈Z)，即12k－3≤t≤12k＋3(t∈Z)．而0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.故一天内的上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即上午9时至下午15时．

附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060

[来源:学&科&网Z&X&X&K]