解决问题的策略名师教学设计2

《鸽巢问题》教学设计

【教学内容】

人教版《义务教育教科书·数学》六年级下册第68-69页例1、例2。【教材分析】

教材专门安排数学广角这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向这生介绍“鸽巢问题”,知道“鸽巢问题”就是以前老教材的“抽屉原理”。使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。这节课安排了两个例题。例1教材借助把4枝铅笔放进3个笔筒中的操作情景,介绍了一类简单的“鸽巢问题”,即把m个物体放进n(m>n,n是非0自然数)个空抽屉里,那么一定有一个抽屉里至少2个物体。数据较小,为学生自主探索提供了很大的空间,教学时,可以放手让学生自主思考,先采用不同的方法进行“证明”,然后再进行交流。例2介绍的是把a(a>n)个物体放进n(非0的自然数)个空抽屉里,那么一定有一个抽屉中至少放进(商+1)个物体。【学情分析】

“鸽巢问题”就是老教材的“抽屉原理”。“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”,要用几个抽屉。

【教学目标】

1、经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”(鸽巢原理)的基本形式,并能运用“抽屉原理”解决相关实际问题或解释相关现象。

2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动,使学生经历抽屉原理的形成过程,体会和掌握逻辑推理思想和模型思想,提高学习数学的兴趣。

3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

【教学重点】

1、经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。

2、“不管怎么放”、“总有”、“至少”的具体含义,以及为什么商+1而不是加余数。

【教学难点】

1、理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。

2、判断谁是物体,谁是抽屉。

【教学准备】

扑克牌、多媒体课件。

【教学过程】

一、情景激趣导入。

今天上课前,我先给大家表演一个魔术,大家想看吗?这个魔术需要一名同学来配合,谁愿意?这是一副扑克牌,取出大王、小王,还剩多少张?请你任意从中抽取5张牌。我敢肯定地说:你手中的5张至少有两张是同一花色。同学们,你们相信吗?好,见证奇迹的时刻到了。

(理解“至少”的意思)

老师为什么能做出准确的判断呢?因为这个魔术中蕴含了一个数学原理,大家有兴趣研究吗?

二、通过操作,探究新知

(一)教学例1

同学们都带稿纸了吗?请用“︱”代表一枝铅笔,用“○”代表笔筒,现在我们就开始研究吧!

铅笔笔筒

4 3

将4枝铅笔放进3个笔筒里,可能会有怎样的结果?大家在稿纸上画画看。

请大家注意观察,黑板上同学们呈现的四种情况,它们都不一样是吧?(是)但它们却有一个共同的特点,谁来说说?

师:你真了不起,一语道破了天机,请同学们重复一下他说的话!

生重复:不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。

师:“不管怎么放”是什么意思?

师:“总有”是什么意思?

生:一定存在。

师:“至少”有2枝什么意思?

生:不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝。

师:你能在3个笔筒中的一个笔筒里摆放出比2枝更少的情况吗?(生:不能)师:让我们再重复一遍我们发现的这个结论吧。

生:把4枝铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。【设计意图】通过观察,使学生积极投入到对问题研究中。同时,加强学生对“不管怎么放”、“总有”、“至少”几个词的理解,并初步渗透建模的数学思想。师:把4枝铅笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作进行枚举的方法发现了这个结论。(板书:枚举法)那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢? (学生思考——组内交流——汇报)

师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?

组1生:我们发现如果每个笔筒里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个笔筒里,总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。

师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)

师:你们组太聪明了!大家给他们点掌声!同位之间边演示边说一说好吗?

师:这种分法,实际就是先怎么分的?

生众:平均分

师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)

生1:要想发现存在着“总有一个笔筒里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在那个笔筒里,一定会出现“总有一个笔筒里一定至少有2枝”。

生2:这样分,只分一次就能确定总有一个笔筒至少有几枝笔了。

师:哦,这个方法真妙。你们听明白了吗?我也听明白了。就是先假设在每个笔筒里放一只铅笔,3个笔筒里就放了3只铅笔,还剩下1枝,放入任意一个笔筒,那么这个笔筒中就有2枝铅笔了。这种方法我们可以把它叫做“假设法”。(板

书:假设法)那么,用“假设法”研究这类问题的核心是什么?(先平均分)师:其他小组还有其它的方法吗?

(补充数的分解法并板书)

师:同学们真聪明!看来在探究解决问题时,通常都存在几种不同的方法策略。在我们刚才展示的三种方法中,你们认为最佳的方法是那一种?为什么?大家同桌之间互相讨论一下。

生1:我认为假设法最方便,因为假设法只需平均分一次就知道至少是多少。师:我也这样认为。那么,让我们用这种最佳的方法来进行后面的研究,好不好?【设计意图】数学课堂应为学生自主探索、合作交流提供足够的空间。在解决问题时,培养学生从多角度出发探索解决问题的不同策略和方法,从而简单地渗透“方法论”的哲学思想。

师:请同学们继续思考:把5枝笔饭放进4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有几枝铅笔?为什么?

生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。因为如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师:把6枝笔放进5个盒子里呢?

生:6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。师:把10枝笔放进9个盒子里呢?

把100枝笔放进99个盒子里呢?……(板书类推数字)

你发现什么?

生1:笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。师:你的发现和他一样吗?(一样)如果我们把“99个盒子”用“n个抽屉”来代替,把“100枝铅笔”用“n+1个物体”来代替,那么该怎样归纳这个发现呢?生1:将n+1个物体放在n个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有2个物体。

师:你们同意吗?(同意)

【课件】出示抽屉原理1。(生齐读)

【设计意图】在学生自主探索的基础上,教师进一步比较优化,让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中,引导学生得出一般性的结论,让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理,当物体个数大于抽屉个数时,一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程,从方法层面和知识层面上对学生进行了提升,有助于发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。)

师:你太了不起了!如果你早出生200年,数学史将因你而改写!那也没关系,今天你却是第一个吃到螃蟹的人,大家给他以热烈的掌声!

【设计意图】介绍抽屉原理的由来,以增加数学文化的气息。同时教育学生学习数学家的观察生活的态度,研究问题的方法。

2.解决问题。

师;我们刚才用三种不同的方法研究出了抽屉原理1,知道了抽屉原理的来历。抽屉原理也叫“鸽笼原理”。瞧,鸽子来了。

【课件】5只鸽子飞回3个鸽笼,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里,为什么?师:你们能用三种方法中的其中一种方法来说理吗?

(学生活动——独立思考,自主探究,交流、说理)

师:谁能说说为什么?或者你是怎么想的?

生1:如果一个鸽笼里飞进一只鸽子,最多飞进3只鸽子,还剩2只,要飞进其中的一个鸽笼里或两个鸽笼。不管怎么飞,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。师:同意吗?(生:同意)老师把这位同学说的算式写下来,(板书:5÷3=1……2)师:同位之间再说一说,对这种方法的理解。

【设计意图】通过“做一做”中的鸽巢问题,使学生可以利用例题中的方法进行迁移类推,对从余数1到余数2在思维层次上进一步提升。

(二)教学例2

过渡语:德国数学家“狄里克雷”在生活中,发现了抽屉原理1这个规律后,并没有停止对现象的研究,又发现了问题。我们也想一想,还有没有值得我们继续研究的问题呢?如果物件的数量更多一些会怎么样呢?

1.【课件】出示例2:把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?如果8本书会怎样呢?10本呢?

(留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况)

2.学生汇报。

生1:把7本书放进3个抽屉里,如果每个抽屉里先放2本,还剩1本,这本书不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书……

板书:

先平均分总有一个抽屉里至少数

7÷3=2……1 3(2+1=3)

8÷3=2……2 3(2+1=3)

10÷3=3……1 4(3+1=4)

【设计意图】在例1和“做一做”的基础上,相信学生会用平均分的方法解决“至少”的问题,将证明过程用有余数的除法算式表示,为下一步,学生发现结论与商和余数的关系做好铺垫。

师:观察板书你能发现什么?

生1:“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+ 1”就可以得到。

师:如果把8本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?生:“总有一个抽屉里的至少有4本”只要用8÷3=2本……2本,用“商+ 2”就可以了。

生:不同意!先把8本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放2本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书,不是3本书。

师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?同位间进行研究、商量一下。

交流、说理活动:

生1:把8本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放2本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有3本书”。

生2∶我们组的结论是8本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有3本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。

师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?

生4:用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

师:同学们同意吧?

【课件】展示板书:至少数=平均数+1

师:同学们,在前面例一的研究中,同学们很了不起,发现并总结出了“抽屉原理1”。那么,通过刚才对例2的研究,你们能不能也总结出一句话呢?

师引导学生总结。

【课件】展示“抽屉原理2”

把a个物体放进n个空抽屉里,如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少放(b+1)个物体。

生齐读。

【课件】69页“做一做”。

(独立完成,交流反馈)

2、张叔叔参加飞镖比赛,投了5镖,成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于几环?

【设计意图】研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。课的前后需要一定的联系,通过让学生去用这节课学过的抽屉原理解释课始老师呈现的问题,再从生活中举出和抽屉原理有关的例子,让学生进一步认识数学与生活的联系。四、回顾总结,拓展延伸

这节课,我们通过一系列的研究,初步了解了“抽屉原理,并能结合生活实际进行理解。但是,它的应用确实千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题。

现在你们能解释老师在课的开始说到5张牌至少有两张是同一花色和14张牌中至少有有一对的解释吗?(学生作解释。)请大家课后相互说一说。

五、课堂小结

通过这节课的学习,你有哪些收获?