综合应用（通用）第二课时教案

《鸽巢问题》教学设计

执教教师:祁建萍

教学内容

人教版六年级下册数学《数学广角——鸽巢问题》。

设计理念

《鸽巢问题》既鸽巢原理又称抽屉原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的,因此,也称为狄利克雷原理。

首先,用具体的操作,将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言,不仅说起来生涩拗口,而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢?我觉得要让学生充分的操作,一在具体操作中理解“总有”和“至少”;二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作,最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象,让学生理解这句话。

其次,充分发挥学生主动性,让学生在证明结论的过程中探究方法,总结规律。学生是学习的主动者,特别是这种原理的初步认识,不应该是教师牵着学生去认识,而是创造条件,让学生自己去探索,发现。所以我认为应该提出问题,让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确,让学生初步经历“数学证明”的过程,逐步提高学生的逻辑思维能力。

再者,适当把握教学要求。我们的教学不同奥数,因此在教学中不需要求学生说理的严密性,也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。

教材分析

《鸽巢问题》这是一类与“存在性”有关的问题,如任意13名学生,一定存在两名学生,他们在同一个月过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论,我们称之为“鸽巢问题”。

通过第一个例题教学,介绍了较简单的“鸽巢问题”:只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象:不管怎样放,总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法:一是枚举法,罗列了摆放的所有情况。二是假设法,用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究,让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况,能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。

第二个例题是在例1的基础上说明:只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”,并能用有余数的除法算式表示思维的过程。

教学目标

1.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。渗透“建模”思想。

2.经历从具体到抽象的探究过程,提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3.通过“鸽巢原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点

经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢原理”。

教学难点

理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教具准备:相关课件相关学具(若干笔和筒)

教学过程

一、游戏激趣,初步体验。

师:老师带领大家做一个小游戏“抢凳子的游戏”游戏规则:4位同学跟随着音乐围着凳子转圈,音乐“停”的时候,四个人每个人都必须坐在凳子上。

教师背对着游戏的学生.老师不用看,也知道肯定有一张凳子上至少坐着2位同学。老师说得对吗?其实这里面蕴含一个深奥的数学原理,今天我们就来探究这个问题

[设计意图:联系学生的生活实际,激发学习兴趣,使学生积极投入到后面问题的研究中。]

二、操作探究,发现规律。

1.呈现问题,引出探究

课件出示:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里面至少有2支铅笔。

师:这句话里“总有”“至少”是什么意思?一定有。

师:这句话里“至少有2支”是什么意思?最少有2支,不少于2支,包括2支及2支以上。

【设计意图:理解“总有”一个笔筒里“至少”有2支铅笔。让学生初步经历数学证明的过程,训练学生的逻辑思维能力。】

2.具体操作,感知规律

(1) 教学例1: 多媒体PPT出示例1:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:刚才我们做的游戏中4个人坐3张凳子,不管怎么坐,总有一张凳子至少坐两个同学。4枝铅笔放进3个笔筒中呢?

(2)小组合作,要把4枝铅笔放进3个笔筒里,有几种放法?

出示活动要求,请同学们动手摆一摆,再把你的想法在小组内交流。

(3)学生汇报结果

A:枚举法。

要求学生边摆边说,你是用什么方法记录

生用数对记录的

出现以下几种放法:

可以放(4,0,0);(3,1,0);(2,2,0);(2,1,1)。

观察这4种方法,每种放笔最多的笔筒中放几支?

引导学生观察4种方法,从而得出:我们发现要放进三个笔筒中总有一个笔筒至少有2枝铅笔,

你是从哪里发现的?能对照这4种方法解释一下这句话吗?是从放笔最多的笔筒中比较出至少数。

师:像这样我们通过“画图”、“数的分解”两种方法把所有情况都一一列举出来,从而得出结论的方法,在数学中叫做枚举法。

[设计意图:鸽巢问题对于学生来说,比较抽象,特别是“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。”这句话的理解。所以通过具体的操作,枚举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒,理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历“数学证明”的过程,训练学生的逻辑思维能力。]

质疑:我们通过枚举出四种方法,能清楚地发现“总有一个笔筒里放进2支铅笔”。我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一次,也能得到这个结论的方法呢?

B.假设法。

(1)生边演示边汇报:我们把每个笔筒里都先放进一枝笔,还剩一枝不管放进哪个笔筒,总会有一个笔筒里至少有2支铅笔

师:你们真是善于思考的孩子。运用了假设法来说明问题,假设先在每个笔筒里放1支铅笔,这种方法其实你是怎样分的?(平均分)那剩下的1枝怎么处理?(放入任意一个笔筒,那么这个笔筒就有2枝铅笔了)

为什么要一开始就平均分?(均匀地分,使每个笔筒的笔尽可能少一点,方便找到“至少数”),余下的1支,怎么放?(放进哪个笔筒都行)

师:刚才的这种方法就是“假设法”,它里面就蕴含了“平均分”,只有平均分,才能将铅笔尽可能分散,保证“至少”的情况。

(2)谁能用算式来表示这位同学的想法?(4÷3=1…1)商1表示什么?余数1表示什么?怎么办?

(3)师:由此我们得出结论,把四支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒至少有两支铅笔。

[设计意图:鼓励学生积极的自主探索,寻找不同的证明方法,在枚举法的基础上,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想。]

三、探究归纳,形成规律

1.如果把5支铅笔放进3个笔筒,总有一个笔筒至少放 ( ) 支铅笔?

(1)边摆边说理. 先平均分每个笔筒放进1支笔,余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里,所以至少2只。

(2).质疑:为什么第二次平均分?(剩下的尽可能平均分,使杯子里尽可能少,保证“至少”)

(3) 应该怎样列式“平均分”。

根据学生回答板书:5÷3=1……2

2.如果把8支铅笔放进3个笔筒,总有一个笔筒至少放( )支笔筒?

3.如果把100支铅笔放进99个笔筒,总有一个笔筒至少放( )支笔筒?

应该怎样列式“平均分”。

根据学生回答板书:5÷3=1……2

8÷3=2……2

100÷99=1……1

4.发现了什么规律了?

至少数=商+1

强调:和余数有没有关系?

师:通过刚才同学们的讨论,一是枚举了所有放法,找规律,二是采用了“假设法”来说明理由,你觉得哪种方法更明了更简单?

5.认识“鸽巢问题”

如果老师把物体4支铅笔换成鸽子,笔筒换成鸽巢可以吗?

出示.7只鸽子飞回5个鸽巢,至少有()只鸽子飞回同一个鸽巢里,为什么?

这就是鸽巢问题里的数学原理。

6.如果把m个物体放入n个巢里,且m>n,如果m÷n=a…… b (b不能为0),那么总有一个巢里至少有()个物体。

[设计意图:对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上,从“至少2支”得到“至少商+余数”个,再到得到“商+1”的结论。]

7.课件播放:同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

8.师:回想我们刚才学习中,谁相当于抽屉(鸽笼)?那笔就可以看作是被放进抽屉的物体(鸽子)。

三、灵活应用,解决问题

1.解释课前所做的抢凳子游戏。

2. 你能用这一原理来解释扑克牌问题吗?

一副牌,取出大小王,从还剩52张牌里面随意抽5张,至少有2张牌的花色相同。

师:题目中什么相当于鸽子,什么相当于鸽巢?

生:5张牌相当于鸽子,4种花色相当于鸽巢,总是至少有2张牌是同一花色的。

3.自主完成例2.

四、运用规律解决生活中的问题

[设计意图:让学生体会平常事中也有数学原理,有探究的成就感,激发对数学的热情。]

五、课堂总结

这节课我们学习了什么有趣的规律?请学生畅谈,师总结

《鸽巢问题》教学设计

执教教师:祁建萍

教学内容

人教版六年级下册数学《数学广角——鸽巢问题》。

教学目标

1.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。渗透“建模”思想。

2.经历从具体到抽象的探究过程,提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。

3.通过“鸽巢原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。

教学重点

经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢原理”。

教学难点

理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教具准备:相关课件相关学具(若干笔和筒)

教学过程

一、游戏激趣,初步体验。

师带领大家做一个小游戏“抢凳子的游戏”游戏规则:4位同学跟随着音乐围着凳子转圈,音乐“停”的时候,四个人每个人都必须坐在凳子上。

[设计意图:联系学生的生活实际,激发学习兴趣,使学生积极投入到后面问题的研究中。]

二、操作探究,发现规律。

1.呈现问题,引出探究

课件出示:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里面至少有2支铅笔。

师:这句话里“总有”“至少”是什么意思?一定有。

师:这句话里“至少有2支”是什么意思?最少有2支,不少于2支,包括2支及2支以上。

【设计意图:理解“总有”一个笔筒里“至少”有2支铅笔。让学生初步经历数学证明的过程,训练学生的逻辑思维能力。】

2.具体操作,感知规律

(1) 教学例1: 多媒体PPT出示例1:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。

师:刚才我们做的游戏中4个人坐3张凳子,不管怎么坐,总有一张凳子至少坐两个同学。4枝铅笔放进3个笔筒中呢?

(2)小组合作,要把4枝铅笔放进3个笔筒里,有几种放法?

出示活动要求,请同学们动手摆一摆,再把你的想法在小组内交流。

(3)学生汇报结果

A:枚举法。

要求学生边摆边说,你是用什么方法记录

生用数对记录的出现以下几种放法:

可以放(4,0,0);(3,1,0);(2,2,0);(2,1,1)。

引导学生观察4种方法,从而得出:我们发现要放进三个笔筒中总有一个笔筒至少有2枝铅笔,

你是从哪里发现的?能对照这4种方法解释一下这句话吗?是从放笔最多的笔筒中比较出至少数。

师:像这样我们通过“画图”、“数的分解”两种方法把所有情况都一一列举出来,从而得出结论的方法,在数学中叫做枚举法。

[设计意图:鸽巢问题对于学生来说,比较抽象,特别是“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。”这句话的理解。所以通过具体的操作,枚举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒,理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历“数学证明”的过程,训练学生的逻辑思维能力。]

质疑:我们通过枚举出四种方法,能清楚地发现“总有一个笔筒里放进2支铅笔”。我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一次,也能得到这个结论的方法呢?

B.假设法。

(1)生边演示边汇报:我们把每个笔筒里都先放进一枝笔,还剩一枝不管放进哪个笔筒,总会有一个笔筒里至少有2支铅笔

师:刚才的这种方法就是“假设法”,它里面就蕴含了“平均分”,只有平均分,才能将铅笔尽可能分散,保证“至少”的情况。

(2)谁能用算式来表示这位同学的想法?(4÷3=1…1)商1表示什么?余数1表示什么?怎么办?

(3)得出结论,把四支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒至少有两支铅笔。

[设计意图:鼓励学生积极的自主探索,寻找不同的证明方法,在枚举法的基础上,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想。]

三、探究归纳,形成规律

1.如果把5支铅笔放进3个笔筒,总有一个笔筒至少放 ( ) 支铅笔?

(1)边摆边说理.

(2).质疑:为什么第二次平均分?

(3) 应该怎样列式“平均分”。

根据学生回答板书:5÷3=1……2

2.如果把8支铅笔放进3个笔筒,总有一个笔筒至少放支笔筒?

3.如果把100支铅笔放进99个笔筒,总有一个笔筒至少放支笔筒?

应该怎样列式“平均分”。

根据学生回答板书:5÷3=1……2

8÷3=2……2

100÷99=1……1

4.发现了什么规律了?

至少数=商+1

强调:和余数有没有关系?

5.认识“鸽巢问题”

如果物体4支铅笔换成鸽子,笔筒换成鸽巢可以吗?

出示.7只鸽子飞回5个鸽巢,至少有 ( )只鸽子飞回同一个鸽巢里,为什么?

6.如果把m个物体放入n个巢里,且m>n,如果m÷n=a…… b (b不能为0),那么总有一个巢里至少有()个物体。

[设计意图:对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上,从“至少2支”得到“至少商+余数”个,再到得到“商+1”的结论。]

7.课件播放:同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

8.师:回想我们刚才学习中,谁相当于抽屉(鸽笼)?那笔就可以看作是被放进抽屉的物体(鸽子)。

三、灵活应用,解决问题

1.解释课前所做的抢凳子游戏。

2. 你能用这一原理来解释扑克牌问题吗?

一副牌,取出大小王,从还剩52张牌里面随意抽5张,至少有2张牌的花色相同。 3.完成例2.

四、运用规律解决生活中的问题

[设计意图:让学生体会平常事中也有数学原理,有探究的成就感,激发对数学的热情。]

五、课堂总结

这节课我们学习了什么有趣的规律?请学生畅谈,师总结