2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示名师教学设计1

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

陈洪燕

教材分析

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第2节。

考虑到学生的接受能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。

学情分析：

对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这块知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法.不要简化知识发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解知识的本质. 三维目标分析

知识与技能：

1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）

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知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）i(1,0)，j(0,1)，

0(0,0)

3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。

过程与方法：

学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。

情感态度与价值观：

在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。

重点：平面向量坐标表示的定义

突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想. 难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理

教学方法：启发式谈话法

教 具：多媒体课件

授课类型：新授课

【教学过程】

一、知识再现、学习准备

平面向量基本定理： e1、e2是同一平面内的两个不共线非零向量，如果 那么对于平面内的任一向量 a，1、2，

使 有且只有一对实数 a1e12e2

(1)我们把不共线向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不唯一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底

e、e的条件下进行分解；

12(4)基底一旦给定，分解形式唯一. 1，2是由

a 、e1、e2唯一确定的数量。

二、教学过程设计. （一）问题情境1：倾斜角为30°的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解? 设计说明：引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。

（二）向量坐标表示的定义探究

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提出问题

1.我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? 2.在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？

⒊平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课) 师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用？这些力之间有什么关系？

生：该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．

师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解．

由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向量1e1、2e2，使a＝1e1+2e2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形．把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量正交分解．

如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．正交分解是向量分解中常见的一种情形．

⒋平面向量的坐标表示

师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即点的坐标）表示．那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a＝xi＋yj．

这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a＝(x,y)叫作向量的坐标表示. 根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎样的？

生：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)．

（三）向量与坐标的对应关系

师：如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由向量a唯一确定．

设OAxi＋yj，则向量OA的坐标(x,y)就是终点A

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的坐标；反过来，终点A的坐标(x,y)就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示．

有人说：直角坐标平面内向量a的坐标就是它的终点坐标．这句话正确吗？

生：这种说法不正确．只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才是它的终点坐标．

师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量的集合之间有一一对应关系．

（四）例题讲解: 例1 如图,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.

解:由图可知,a=AA1+AA2=xi+yj,

∴a=(2,3).

同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 拓展训练：

例2.(1)写出向量BC的坐标，并与OA的坐标进行比较；(2) 写出向量OC,OB的坐标

学生：积极思考，独立完成之后请一同学说出解题过程

教师板演：解：（1）由图知BCOA

BC2i3j,OA2i3j

BCOA(2,3)

（2）OC5ij,OB3i2j

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OC(5,1),OB(3,2)

教师提问：（1）比较BC与OA的坐标，你能得出什么结论？

学生经历观察、归纳的过程后得到：相等的向量的坐标相同

（2）比较向量OA,OC,OB的坐标与点A,B,C的坐标，你又能得到什么结论？

“必然”还是“偶然”？“偶然”之中的“必然”又是什么？

学生经历观察、归纳的过程后得到：以原点O为起点的向量OA的坐标与点A的坐标相同

设计意图：该题一方面检查学生是否能够写出向量的坐标，另一方面，通过该题得到上述两个重要的结论。许多结论不应该让学生死记硬背，而应该通过具体的实例，从中观察归纳得到。

（五）课堂小结: ⑴同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量表示．

⑵通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对，从而给出了向量的另一种表示形式——坐标表示式．向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来．

（六）课后作业：

⒈对应限时规范训练

⒉预习课本P106～P108，思考下列问题：

⑴已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算？

⑵怎样求一个用有向线段表示的向量的坐标？

⑶向量的坐标与点的坐标之间有什么关系？

⑷例5的两种解法，在解题思路上有什么不同？

板书设计：

§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 知识点回顾

⒈向量的正交分解 ⒈向量的若干概念

⒉向量的坐标表示 ⒉向量的夹角 3.向量与坐标的对应关系 3.平面向量基本定理

小结

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课后反思

通过这节课的实验，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者”，因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。本课是我对这一要求的一种探索与尝试。现总结为以下三个方面。

1、

扮演好“引导者”的角色

为了激发学生学习的热情，我以自己姓氏引入，极大调动了学生的积极性，为整节课的课堂效果作了一个很好的铺垫。

这个环节让我感受到：对于一些“繁、难、偏、旧”的学习内容，单纯的机械式接受学习既无法体现数学知识的背景与应用，也无法引起学生的学习兴趣。相反，对于这些内容，如果我们可以多思考一下，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，让学生感觉到自己是数学学习的主人。

2、

扮演好“组织者”的角色

在教学过程中，光作好一个“引导者”的角色是不够的。无论过去还是现在，我们所面对的学生层次总有不同，知识背景，实际能力存在差异，组织好教学内容及学习过程，因材施教永远是我们教师需要考虑的问题。同时在现代技术的背景下，数学教学中也出现了越来越多的新技术手段，这些都是对传统教学手段的有益补充，如何用好这些手段，同样需要我们教师用心将其整合到教学过程中去，以期让所有学生都能从中或多或少的有所收获，使学生学习数学、理解数学。

在本节课教学中，为了突破本节课的重点和难点——对平面向量的坐标表示生成过程的理解。通过设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析，通过学生之间的总结出最本质的内容，从而引起每个学生对重难点的理解，达到了较好的教学效果。

3、

扮演好“合作者”的角色

本节课在教师的不断铺垫不断引导下，学生不断观察和思考中，得到了本课需要学生掌握的结论。因此在数学教学中，教师的活动与学生的活动相互独立又

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相互依存。我们作为教师，必须把握我们自身所处的位置，充分而又恰当地发挥教师的主导作用，同时要充分发挥和调动学生学习的积极性、主动性。

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