复习参考题优秀说课稿

三角函数的图像的几何性质

一、内容提要

1、

正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性，奇偶性，对称性，单调性见下表

函数

图像

y=sinx y=cosx y=tanx

2

偶

x=k，kZ π(k+，0)，kZ 2

周期性

奇偶性

对称轴

对称性

对称中心

单调性

2

奇

πx=k+，kZ 2(k，0)，kZ 

奇

无

π在[2k-，2π2k+]，kZ上递2增

π在[2k+，23π2k+]，kZ上递2减

kπ（，0），2kZ 在[2k-，2k]，π在（k-，kZ上递增

2在[2k，2k+]，πk+)，kZkZ上递减

2

上递增

2、对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质。

3、关于函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的性质可转化为y=Asint和t=x+来解决。

二、例题分析

例题1（2012•安徽，16）设函数f(x) （I）求函数f(x)的最小正周期；

2cos(2x)sin2x. 24 （II）设函数g(x)对任意xR，有g(x)g(x)，且当x[0,]时，221g(x)f(x). 2 求函数g(x)在区间[,0]上的解析式。

【解析】

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法。

分析：利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，

（1）直接利用周期公式求解即可．

（2）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0，类求出函数的解析式即可．

解答：f（x）=cos（2x+）+sin2x=cos2x﹣sin2x+（1﹣cos2x）=﹣sin2x．

]时，g（x）=﹣f（x），对x分2

211（2）当x[0,]时，g(x)f(x)sin2x

222（1）函数f(x)的最小正周期T11,0]时，(x)[0,]

g(x)g(x)sin2(x)sin2x

222222211 当x[,)时，(x)[0,)

g(x)g(x)sin2(x)sin2x

22221sin2x(x0)22得：函数g(x)在[,0]上的解析式为g(x)

1sin2x(x)22

本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的化简，考查计算能力．

当x[

(sinxcosx)sin2x. sinx (1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

分析：本题考查三角恒等变换，周期性，单调性，要特别注意定义域

解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，

故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

(sinxcosx)sin2x因为f(x)＝

sinx＝2cosx(sinx－cosx) ＝sin2x－cos2x－1 π＝2sin2x－－1，

42π所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 2π3π(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)．

22ππ3π由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

2423π7π得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

883π7π，kx＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递减区间为kπ＋88

思考：若将上题（2）中改为求增区间呢？（此时更要注意x≠kπ(k∈Z)）

例题2 [2012·北京卷] 已知函数f(x)＝例题3（2016全国卷1,12）已知函数f(x)sin(x+)(0，的零点，x为

2),x4为f(x)5为yf(x)图像的对称轴，且f(x)在，单调，则的最大值41836（A）11 （B）9 （C）7 （D）5 分析：本题考查函数的对称性，单调性，周期性和函数的零点。

π+k1π

4解．

由题意知：则2k1，其中kZ

ππ+kπ+

2425πTπ5π接下来用排除法

f(x)在,单调，,1218363618122 πππ3π3π5π若11,，此时f(x)sin11x，f(x)在,递增，在,递减，4418444436不满足f(x)在 若9,

π5π,单调

1836πππ5π，此时f(x)sin9x，满足f(x)在,单调递减 故选B．

441836

例题4设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导ππ函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，x－f′(x)＞220.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为(

) A．2 B．4 C．5 D．8

答案：B [解析] 本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：利用函数的奇偶性、周期性和单调性，作出函数简图，把f(x)－sinx＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．

πππ由当x∈(0，π) 且x≠时，x－

f′(x)＞0 ，可知函数f(x)在0，上222π是单调递减的，在，π上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可2画出其一个简图，令f(x)－sinx＝0，即f(x)＝sinx，构造两个函数y＝f(x)和y＝sinx，由图可知，函数有4个零点．

[易错点] 本题易错一：对函数的性质掌握不到位，无法作出函数图象的简图；易错二：函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．

三、课堂练习

ππx+)=m(其中0

答案：14 解析：本题主要考查数形结合思想，利用三角函数的对称性来解题。

2、设函数f(x)＝sin2ωx＋23sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直1线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈，1. 2(1)求函数f(x)的最小正周期；

π(2)若y＝f(x)的图象经过点，0，求函数f(x)的值域．

4解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sinωx·cosωx＋λ

π＝－cos2ωx＋3sin2ωx＋λ＝2sin2ωx－＋λ. 6由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，

π可得sin2ωx－＝±1，

6ππk1所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)，

622356π1又ω∈，1，k∈Z，所以k＝1，故ω＝，所以f(x)的最小正周期是. 652ππ(2)由y＝f(x)的图象过点，0，得f＝0，

44π5ππ×－即λ＝－2sin＝－2sin＝－2，即λ＝－2. 6462π5故f(x)＝2sinx－－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]．

63

π3、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，0＜φ＜的部分图象如下图所2示．

(1)求函数f(x)的解析式；

ππ(2)求函数g(x)＝fx－－fx＋的单调递增区间．

12121、已知关于x 的方程2sin(

2π11π5π－＝π，所以ω＝解：(1)由题设图象知，周期T＝2＝2. 12T125π，0在函数图象上，

因为点125π5π2×＋φ＋φ＝0. ＝0，即sin所以Asin126π5π5π4π5ππ又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜.从而＋φ＝π，即φ＝. 266366π又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2. 6π故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋. 6(2)g(x)＝

ππππ2sin2x－＋－2sin2x＋＋

126126π＝2sin2x－2sin2x＋

313＝2sin2x－2sin2x＋cos2x

22＝sin2x－3cos2x

π＝2sin2x－. 3ππππ5π由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 2321212π5πkπ－，kπ＋，k∈Z. 所以函数g(x)的单调递增区间是1212