探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优秀获奖教案

学习目标

1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.

知识点一

φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

思考1

如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？

答案

向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位. π思考2

如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin(x＋)的图象？

6π答案

向左平移个单位. 6梳理

如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.

知识点二

ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

1思考1

函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？

2答案

2π，π，4π.

思考2

当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？

11答案

当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x22中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍. 思考3

函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？

答案

可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可. 梳理

如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的1横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. ω

知识点三

A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

1思考

对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？

21答案

对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值21是y＝sin x的函数值的. 2梳理

如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

知识点四

函数y＝sin x的图象与y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象关系

正弦曲线y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：

所有点的横坐标变为原来的1倍向左φ＞0或向右φ＜0y＝sin x的图象――――――――――――→

y＝sin(x＋φ)的图象――――――――――――→y＝sin(ωx平移|φ|个单位长度纵坐标不变＋φ)的图象――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)的图象.

横坐标不变所有点的纵坐标变为原来的A倍w

类型一

平移变换

πx－的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？

例1

函数y＝sin6ππx－的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度解

函数y＝sin66而得到的. 反思与感悟

对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，φ且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位. ωπ2x－的图象，只要将y＝sin 2x的图象(

) 跟踪训练1

要得到y＝cos4

πA.向左平移个单位

8πB.向右平移个单位

8πC.向左平移个单位

4πD.向右平移个单位

4答案

A ππ－2x＝cos2x－

解析

y＝sin 2x＝cos22x－π＝cos2x－π－π. ＝cos2844ππx－－，

若设f(x)＝sin 2x＝cos284πππx＋＝cos2x－，所以向左平移个单位. 则f488类型二

伸缩变换

π1x＋的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)而得到的例2

将函数y＝sin32函数解析式为________. π2x＋

答案

y＝sin3反思与感悟

横向伸缩变换，只变ω，φ不发生变化. π跟踪训练2

将函数y＝sin(x－)图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得3到函数__________的图象. 1π答案

y＝sin(x－) 53类型三

图象变换的综合应用

π例3

把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把61π2纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin2x＋3，求f(x)的解析式. 3纵坐标伸长到原来的3倍21π解

y＝2sin2x＋3――――――――――→

横坐标缩短到原来的1倍21πy＝3sin2x＋3――――――――――→

向左平移个单位6πx＋―y＝3sin―――――――――→

3

πππx＋＋＝3sinx＋＝3cos x.

y＝3sin632所以f(x)＝3cos x. 反思与感悟

(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法. (2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可. π跟踪训练3

将函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函3数为偶函数，则m的最小值为(

) πππ5πA.

B.

C.

D.

12636答案

B π解析

因为函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝3πππππ2sin(x＋＋m)，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，33266故选B.

1.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(

) 11A.2

B.

C.4

D.

24答案

B xπx＋的图象，只要将函数y＝sin 的图象(

) 2.要得到y＝sin232πA.向左平移个单位

32πC.向左平移个单位

3答案

C πx＋的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(

) 3.为了得到函数y＝sin3πA.向左平行移动个单位长度

3πB.向右平行移动个单位长度

3πC.向上平行移动个单位长度

3πB.向右平移个单位

32πD.向右平移个单位

3

πD.向下平行移动个单位长度

3答案

A 解析

由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. π4.将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的解析式为4__________________. 答案

y＝－cos 2x

左移个单位长度解析

y＝sin(－2x)―――――――→

4x＋π，

y＝sin－24ππ－2x－＝－sin2x＋＝－cos 2x. 即y＝sin22ππ5x－的图象向右平移个单位长度，5.函数y＝sin再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来241的，所得图象的函数解析式为____________. 27π10x－

答案

y＝sin4向右平移4π5x－―解析

y＝sin―――――→

2个单位ππ7πx－－＝sin5x－

y＝sin54427π横坐标缩短10x－. ――――――→y＝sin4为原来的2

1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：

(1)y＝sin x――→y＝sin(x＋φ)――→

y＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ). (2)y＝sin x――→y＝sin ωx――→

φ振幅变换y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)――→y＝Asin(ωx＋φ). ω注意

两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，|φ|平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注ω周期变换相位变换振幅变换相位变换周期变换

意. 2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到. 课时作业

一、选择题

π12x＋的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(

) 1.将函数y＝2sin64π2x＋

A.y＝2sin4π2x－

C.y＝2sin4答案

D ππ1π2x＋的周期为π，将函数y＝2sin2x＋的图象向右平移个周期即个解析

函数y＝2sin6644πππx－＋＝2sin2x－，故选D. 单位，所得函数为y＝2sin2463π2x＋

B.y＝2sin3π2x－

D.y＝2sin3πωx＋(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的2.已知函数f(x)＝sin4图象，只需将y＝f(x)的图象上所有的点(

) πA.向左平移个单位长度

8πB.向右平移个单位长度

8πC.向左平移个单位长度

4πD.向右平移个单位长度

4答案

A 2π解析

由T＝π＝

，得ω＝2，

ωπ2x＋，

g(x)＝cos 2x＝sin2ππ2x＋的图象向左平移单位，

f(x)＝sin48ππx＋＋

得到y＝sin284π2x＋＝g(x)的图象. ＝sin2πx＋的图象，只需将函数y＝sin x的图象(

) 3.为得到函数y＝cos3

πA.向左平移个单位长度

6πB.向右平移个单位长度

65πC.向左平移个单位长度

65πD.向右平移个单位长度

6答案

C πππ解析

y＝cos(x＋)＝sin[(x＋)＋] 3325π＝sin(x＋)，

65π所以只需将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度. 6ππ2x－的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是(

) 4.把函数y＝sin48A.非奇非偶函数

B.既是奇函数又是偶函数

C.奇函数

D.偶函数

答案

D πππππ2x－的图象向右平移个单位得到y＝sin2x－8－＝sin2x－＝－cos 2x解析

y＝sin4428的图象，y＝－cos 2x是偶函数. π5.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度.若所得图象与原图象重合，2则ω的值不可能等于(

) A.4

C.8

答案

B πx＋π＋φ

解析

对于B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)的图象向左平移个单位，得y＝sin622＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象. 6.给出几种变换：

①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；

1②横坐标缩小到原来的，纵坐标不变；

2π③向左平移个单位长度；

3B.6 D.12

π④向右平移个单位长度；

3π⑤向左平移个单位长度；

6π⑥向右平移个单位长度. 6π2x＋的图象，可以实施的方案是(

) 则由函数y＝sin x的图象得到y＝sin3A.①→③

B.②→③

C.②→④

D.②→⑤

答案

D π②⑤2x＋的图象. 解析

y＝sin x的图象――→y＝sin 2x的图象――→y＝sin3xπ7.为了得到函数y＝2sin3＋6，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点(

) π1A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) 63π1B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) 63πC.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 6πD.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 6答案

C ππx＋，x∈R解析

先将y＝2sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin66的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝xπ2sin3＋6，x∈R的图象. 二、填空题

1π18.函数y＝sin(2x－)的图象可以看作把函数y＝sin 2x的图象向________平移________个单242位长度得到的. π答案

右

8ππω＞0，－≤φ＜的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，9.将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)22ππ纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f6＝________. 6答案

2

2

ππx＋的图象，再对每一点的横坐解析

y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin661π标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，所以f(x)＝261ππ2sin(x＋)，f()＝. 266210.为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________. 答案

3π

2πππ－x＝cosx－向右平移φ个单位后得到y＝cosx－φ－，

解析

y＝sin x＝cos222ππ∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z. 223π∴φ的最小正值是. 211.某同学给出了以下判断：

π①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；

2②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；

③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；

ππ2x＋的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的. ④函数y＝sin33其中正确的结论是______.(将所有正确结论的序号都填上) 答案

①③

xπx12.要得到y＝sin(＋)的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________232个单位长度. 答案

11π

3xxπxπ解析

cos＝sin(＋)，将y＝sin(＋)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y＝22222xφπφπππsin(＋＋)的图象.令＋＝2kπ＋，∴φ＝4kπ－，k∈Z. 222223311π∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值. 3三、解答题

113.使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将2π其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的表达式. 6

解

方法一

(正向变换) y＝f(x)―――――→y＝f(2x)―――――――→

原来的1倍平移个单位2横坐标缩短到沿x轴向左6x＋π，即y＝f2x＋π，

y＝f236π2x＋＝sin 2x. ∴f3ππ令2x＋＝t，则2x＝t－，

33ππt－，即f(x)＝sinx－. ∴f(t)＝sin33方法二

(逆向变换) 沿x轴向右x－π

根据题意，y＝sin 2x―――――――→y＝sin 2平移个单位66π横坐标伸长到原来的2倍＝sin(2x－)――――――――――→

纵坐标不变3πx－. y＝sin3四、探究与拓展

π14.函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最6小值为________. 答案

5π

12πππ解析

平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

662kππ∴φ＝－－(k∈Z).又∵φ>0，

2125π∴当k＝－1时，φ的最小值为. 1215.已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0. π2π－，上单调递增，求ω的取值范围；

(1)若y＝f(x)在43π(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)6的图象，区间[a，b](a，b∈R且a

(1)因为ω>0，根据题意有

2ππ3ω≤2ππ－ω≥－，42

3⇒0<ω≤. 43所以ω的取值范围为(0，]. 4(2)f(x)＝2sin 2x，

x＋π＋1＝2sin2x＋π＋1，

g(x)＝2sin236π1π72x＋＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，

g(x)＝0⇒sin32412π2π即g(x)的零点相离间隔依次为和，

332ππ43π故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝. 333