2. 波速与波长、频率的关系教学评价实录

第2节

波速与波长、频率的关系

四川省巴中市恩阳区玉山中学

祝睿

目标定位

1.知道什么是波的周期频率并能理解它们的物理意义.知道波的频率是由振源的频率决定的一，与介质无关。

2.知道什么是波速，了解决定波速的因素

λ.3.会用公式v＝=

λf进行相关计算. T4.掌握波在传播过程中的双向性双向性和周期性

一、波长

1．定义：

沿波的传播方向，任意两个相邻的位移总是相同的质点之间的距离，叫做波的波长，常用λ表示．

2．横波中任意两个相邻的波峰或波谷之间的距离就是横波的波长．纵波中任意两个相邻的密部或疏部之间的距离就是纵波的波长．

二、振幅

1．定义：在波传播过程中，各质点离开平衡位置的最大距离，即其振动的振幅，称为波的振幅．

2．波的振幅大小是波所传播能量的直接量度．

三、频率

1．定义：波在传播过程中，介质中各质点振动的频率都相同（与波源的频率相同），这个频率被称为波的频率．

2．波的频率等于波源振动的频率，是由振源的性质决定的与介质的种类无关．

13．频率与周期的关系：f＝或f·T＝1. T四、波速[来源:Zxxk.Com]

1．决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定．

λ2．波速、波长、周期(频率)的关系：v＝或v＝λf. T提问

波速就是振动速度吗？

（

不是．波速是振动形式匀速向外传播的速度，始终沿传播方向，在同一均匀介质中波速不变；振动速度是指质点在平衡位置附近振动的速度，大小和方向都随时间做周期性变化.）

课堂讲义

一、波长、频率、周期、波速

1．波速v：波速与介质的物理性质有关，同一种均匀介质，物理性质相同，波在其中传播的速度恒定．

2．周期和频率：只取决于波源，波的周期和频率就是波源的振动周期和振动频率，与v、λ无任何关系．

λ3．波长λ：对于一列波，其波长、波速、周期的关系不会变化，始终是v＝＝λf，既然v、T都由相关因素决T定，所以这些因素同时又共同决定了波长λ，即波长λ由波源和介质共同决定．

【例1】

(多选)关于机械波的频率、波速、波长，下列说法错误的是(

) A．两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为一个波长

B．波的频率等于波源的振动频率

C．波速等于波源的振动速度

D．波由一种介质进入另一种介质，波速和波长都要改变

解析

由波长的定义可知，两个相邻的均处于平衡位置的质点间的距离为半个波长，选项A错误；由波的频率定义可知选项B正确；波速是波的传播速度，与波源的振动速度不同，选项C错误；波在同一种均匀介质中匀速传λ播，进入不同介质时，频率不变，但波速改变，由v＝可知波长改变，选项D正确．

T答案

AC 借题发挥

波长的定义中要强调“总是相同”的理解；波的频率等于波源的振动频率；波速由介质决定；波长由波源和介质共同决定．

【例2】

某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4 km/s和9 km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成，如图1所示．在一次地震中，震源在地震仪下方，观察到两振子相差5 s开始振动，则(

)

图1 A．P先开始振动，震源距地震仪约36 km B．P先开始振动，震源距地震仪约25 km C．H先开始振动，震源距地震仪约36 km D．H先开始振动，震源距地震仪约25 km 解析

由两种波的传播速率可知，纵波先传到地震仪，设所需时间为t，则横波传到地震仪的时间为(t＋5)s.由位移关系可得4(t＋5)＝9 t，t＝4 s，距离l＝vt＝36 km，故A正确．

答案

A 二、波的多解问题

1．波具有时间和空间的周期性，传播具有双向性，所以关于波的问题更容易出现多解．造成多解的主要因素有：

(1)波的传播方向不确定．

(2)时间间隔Δt与周期T的关系不明确；

(3)波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确；

2．在解决这类波的问题时，对题设条件模糊，没有明确说明的物理量，一定要设法考虑其所有的可能性：

如

(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能；

(2)质点由平衡位置开始振动，则有向上和向下两种可能的振动；(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿正、反两个方向传播的可能；(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．

【例3】

一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形如图2中的实线和虚线所示．

图2

(1)设周期大于(t2－t1)，求波速；

(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向．

解析

当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长．这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．

(1)因Δt＝t2－t1＜T，所以波传播的距离可以直接由图读出．

2 m若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝＝400 m/s. 0.005 s6 m若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝＝1 200 m/s. 0.005 s(2)因Δt＝t2－t1＞T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m，Δx3033＝＝3，即Δx＝3λ＋λ. λ844因此，可得波的传播方向沿x轴负方向．

答案

(1)波向右传播时v＝400 m/s

波向左传播时，v＝1 200 m/s

(2)x轴负方向

借题发挥

解决周期性及双向性带来的多解问题的一般思路如下：

(1)首先考虑传播方向的双向性，如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．

(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT. (3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．

(4)空间的周期性和时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以解题时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解．

【例4】

一列简谐横波沿x轴正方向传播，已知x轴上相距d＝3.6 m的两个质点M、N的振动图像分别如图3甲和乙所示，已知质点M比N质点先起振，则该波(

)

图3 A．波长可能为4.8 m

B．频率可能为0.2 Hz C．传播速度可能为3.6 m/s

D．质点M在波谷时，质点N在波峰[来源学&科&网Z&X&X&K]

解析

据题质点M比N质点先起振，波从M传到N.由振动图像可知t＝0时刻M点位于波峰时，N通过平衡4×3.634d14.4位置向下，则有：d＝(n＋)λ，(n＝0,1,2…)，波长为λ＝＝

m＝

m，当n＝0时，λ＝4.8 m，故A44n＋34n＋34n＋313.6正确；由图读出周期T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故B错误；波速为v＝λf＝

m/s，因为n是整数，vT4n＋33不可能为3.6 m/s，故C错误；由上面分析知，d＝(n＋)λ，则质点M在波谷时，N通过平衡位置，故D错误．

4

答案

A 课堂练习

波长、频率、周期、波速

1．男女生二重唱中，女高音和男中音的频率、波长和波速分别为f1、λ1、v1和f2、λ2、v2，它们之间的关系是(

) A．f1>f2，λ1>λ2，v1>v2 C．f1>f2，λ1<λ2，v1＝v2 B．f1

D．以上说法都不正确

解析

由于两声音是同一种机械波，因而波速相同，A、B均排除，而音调高即是频率高，即f1>f2，再由v＝λf，v相同，f1>f2，所以λ1<λ2，因而C正确，D错误．

答案

C 波的多解问题

2．(多选)如图4所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是(

)

图4 A．0.6 m C．0.2 m B．0.3 m D．0.1 m λ解析

由题意可知，a、b两点的振动方向始终相反，a、b间的距离为半波长的奇数倍，即：xab＝(2n＋1)(n22xab0.3＝0,1,2，…)，解得：λ＝＝

m(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，λ＝0.3 m，选项B正确；当n＝1时，λ＝0.1 m，2n＋12n＋1选项D正确；波长不可能等于0.6 m和0.2 m，选项A、C错误．

答案

BD 课后作业

波长、频率、周期、波速及其关系

1．(多选)关于波长，下列说法中正确的是(

) A．在一个周期内，沿着波的传播方向，振动在介质中传播的距离是一个波长

B．两个相邻的、在振动过程中运动方向总是相同的质点间的距离是一个波长

C．在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长

D．在纵波中，两个密部或两个疏部之间的距离等于波长

解析

根据波动中时间与空间的对应性，时间是周期的多少倍，振动在介质中传播的距离就是波长的多少倍，选项A正确；根据波长的定义，可知选项B、C正确，选项D错误．

答案

ABC 2．(多选)关于波的周期，下列说法正确的是(

) A．质点的振动周期就是波源的周期

B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的

C．波的周期与形成波的介质的密度有关

D．经历整数个周期，波形图重复出现，只是波峰向前移动了一段距离

解析

波的周期性是由质点振动的周期性决定的，故选项A正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故选项B正确，选项C错误；选项D正是波的周期性的体现，故选项D正确．

答案

ABD[来源:Zxxk.Com]

3．(多选)在O点有一波源，t＝0时刻开始向上振动，形成向右传播的一列横波．t1＝4 s时，距离O点为3 m的A点第一次达到波峰；t2＝7 s时，距离O点为4 m的B点第一次达到波谷．则以下说法正确的是(

) A．该横波的波长为2 m B．该横波的周期为4 s C．该横波的波速为1 m/s D．距离O点为5 m的质点第一次开始向上振动的时刻为6 s末

3T43解析

设波速为v，周期为T，由题意得：t1＝v＋＝4 s，t2＝v＋T＝7 s，由以上两式得：v＝1 m/s，T＝4 s，44sB、C均正确，该波波长为λ＝vT＝4 m，A项错误；波传播5 m所用时间为t＝v＝5 s，所以t＝5 s时，距离O点为5 m的质点开始振动且振动方向向上，D项错误．

答案

BC 4．如图1所示，位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S，产生两列分别沿x轴负方向和正方向传播的机械波．若在这两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2，则(

)

图1 A．f1＝2f2，v1＝v2

C．f1＝f2，v1＝2v2

B．f1＝f2，v1＝0.5v2

D．f1＝0.5f2，v1＝v2

xL解析

因两列波的波源都是S，所以它们的周期和频率都相同，即T1＝T2，f1＝f2，由波速公式v＝得v1＝＝t3T22LL，v2＝，从而有v1＝2v2，C对．

3T3T答案

C 5．在介质中有一沿水平方向传播的简谐横波．一质点由平衡位置竖直向上运动，经0.1 s到达最大位移处，在这段时间内波传播了0.5 m，则这列波(

) A．周期是0.2 s C．波速是2 m/s B．波长是0.5 m D．经1.6 s传播了8 m 11λ2解析

T＝0.1 s，T＝0.4 s；λ＝0.5 m，λ＝2 m；v＝＝

m/s＝5 m/s，Δt＝1.6 s时，Δx＝vΔt＝8 m，D正44T0.4确，A、B、C均错．

答案

D 6．用手握住较长软绳的一端连续上下抖动，形成一列简谐横波．某一时刻的波形如图2所示，绳上a、b两质

点均处于波峰位置．下列说法正确的是(

)

图2[来源:Z#xx#k.Com]

A．a、b两点之间的距离为半个波长

B．a、b两点振动开始时刻相差半个周期

C．b点完成全振动次数比a点多一次

D．b点完成全振动次数比a点少一次

解析

相邻的两个波峰之间的距离为一个波长，A错误；波在一个周期内向前传播的距离为一个波长，a点比b点早振动一个周期，完成全振动的次数也比b点多一次，故B、C错误，D正确．

答案

D 7．平衡位置处于坐标原点的波源S在y轴上振动，产生频率为50 Hz的简谐横波向x轴正、负两个方向传播，波速均为100 m/s.平衡位置在x轴上的P、Q两个质点随波源振动着，

P、Q的x轴坐标分别为xP＝3.5 m、xQ＝－3 m．当S位移为负且向－y方向运动时，P、Q两质点的(

) A．位移方向相同、速度方向相反

C．位移方向相反、速度方向相反

B．位移方向相同、速度方向相同

D．位移方向相反、速度方向相同

v10031解析

该波的波长λ＝＝

m＝2 m，xP＝3.5 m＝λ＋λ，|xQ|＝3 m＝λ＋λ，此时P质点位移为负，速度沿＋f5042y方向；Q质点位移为正，速度沿＋y方向，选项D正确．

答案

D 8．如图3甲所示，O点为振源，OP＝s，t＝0时刻O点由平衡位置开始振动，产生向右沿直线传播的简谐横波．图乙为从t＝0时刻开始描绘的质点P的振动图像．下列判断中正确的是(

)

图3 s(t2－t1)1A．该波的频率为

B．这列波的波长为

t2t1C．t＝0时刻，振源O振动的方向沿y轴负方向

D．t＝t2时刻，P点的振动方向沿y轴负方向

11解析

由图乙看出，周期T＝t2－t1，所以f＝＝，选项A错误；由图乙看出，波从O点传到P点的时间Tt2－t1s(t2－t1)s为t1，传播距离为s，则波速为v＝，则波长为λ＝vT＝，选项B正确；P点的起振方向与O点起振方向相t1t1同，由图乙读出t1时刻，P点的振动方向沿y轴正方向，即P点的起振方向沿y轴正方向，则t＝0时刻，振源O振动的方向沿y轴正方向，故C错误；t2时刻和t1时刻相同，P点的振动方向沿y轴正方向，故D错误．

答案

B 波的多解问题

9．(多选)一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在x1＝1.5 m和x2＝4.5 m的两质点A、B的振动图像如图4所示．由此可知(

)

图4 A．1 s末A、B两质点的位移相同

B．2 s末A点的振动速度大于B点的振动速度

C．波长为4 m D．波速为1 m/s 解析

从A、B两点的振动图像可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm，质点B的位移为0，选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负最大位移处，速度为零，选项B正确；从A、B两点的振动图像可以33n＋个波长(n＝0,1，2，…)，结合题给条件可得：n＋λ＝x2－x1，代入数据解得波看出，A、B两点间的距离为4412长为：λ＝

m(n＝0,1,2，…)，由题意知波长大于3 m，则n＝0，波长为：λ＝4 m，选项C正确；从振动图像4n＋3λ可以看出周期为：T＝4 s，则波速为：v＝＝1 m/s，选项D正确．

T答案

BCD 10．一列横波沿AB方向传播，波的频率为5 Hz，振幅为2 cm，A、B两点间距离为6 m，振动方向总是相反，在某时刻两质点同处于平衡位置，它们之间还有一个波峰．试求波的可能波长．

λ13λ22解析

当波形曲线为图中1时，AB＝，得λ1＝2AB＝12 m．当波形曲线为图中2时，AB＝，λ2＝AB＝4 m. 223

答案

4 m或12 m 综合应用

11．一列横波在t时刻的波形如图6所示，振幅为1 cm，已知质点M开始振动的时间比质点N迟0.1 s，两质点的平衡位置相距2 cm.此时刻质点N的运动方向如何？质点M从此时刻起经0.6 s相对平衡位置的位移多大？在0.6 s时间内波向前传播的距离是多少？

图6 解

由于质点N较质点M先振动，故波是向左传播的，可知质点N的运动方向是向上的．波由质点N传播到质点M所经历的时间为0.1 s，从波形图像中看出质点M、N的平衡位置间的距离是波长的四分之一，可知0.1 s是四分之一周期，即质点振动周期为0.4 s．在0.6 s的时间内质点M要完成1.5次全振动而达到正向最大位移处，故经0.6 s质点M相对平衡位置的位移为1 cm，方向向上．质点N的振动方向是向上的．质点M、N的平衡位置相距λλ0.082 cm，其距离是，可知此波的波长是8 cm，于是有v＝＝

m/s＝0.2 m/s. 4T0.4在0.6 s时间内波向前传播的距离为：s＝vt＝0.2×0.6 m＝0.12 m.