3. 万有引力定律的应用教案范文

3.3 万有引力定律的应用

[学习目标定位] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．

一、预言彗星回归

哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，并预言彗星将于1758年再次出现．克雷洛计算了木星和土星对这颗彗星运动规律的影响，指出它将推迟于1759年4月份经过近日点，这个预言果然得到了证实．

二、预言未知星体

1．英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道.1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星——海王星．

2．1930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星．

三、“称量”地球质量

[思考讨论] 1．卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？

2．设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．

[要点提炼] 1．地球质量的计算

MEmgR2在地面上，忽略地球自转的影响，由mg＝G2可以求得地球的质量：ME＝. RG2．其他星球质量的计算

若已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g，与地球质量的计算方法类似，即可计gR2算出此天体的质量M＝. G

1

四、计算天体质量

[思考讨论] 1．我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？

2．天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？.

[要点提炼] 1．计算天体质量的方法

分析围绕该天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有GMm4π24π2r3引力提供向心力即可求中心天体的质量．由2＝m2r，得M＝2. rTGT2．天体密度的计算方法

M根据密度的公式ρ＝，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．

43πR3GMm4(1)由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．由mg＝2和M＝ρ·πR3，R3得ρ＝3g. 4πGR(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则Mm4π2433πr3由G2＝mr2和M＝ρ·πR，得ρ＝23. rT3GTR注意

R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若3π绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝2. GT例1

地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为(

) 3g3gggA.

B.

D.2

2 C.4πRG4πRGRGRG例2

假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G. (1)则该天体的密度是多少？

(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？

2

课堂练习1．“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以(

) A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B．求出月球的质量

r3r312C．得出2＝2 D．求出地球的密度

T1T2五、天体运动的分析与计算

1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．

2．常用关系：

v2Mm4π22(1)G2＝ma＝m＝mωr＝m2r

rrTMm(2)忽略自转时，mg＝G2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：RgR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．

3．四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．

vMm(1)由G2＝m得v＝

rrMm(2)由G2＝mω2r得ω＝

r2GM，r越大，v越小．

rGM，r越大，ω越小．

r3r3，r越大，T越大．

GMMm2π(3)由G2＝m()2r得T＝2π rTMmGM(4)由G2＝ma向得a向＝2，r越大，a向越小．

rr例3

质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(

) A．线速度v＝

GM

B．角速度ω＝gR

RRGm

D．向心加速度a＝2

gRC．运行周期T＝2π例4

据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancri e”．该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1，母星480的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的(

)

3

360360A．轨道半径之比约为

B．轨道半径之比约为

4804802C．向心加速度之比约为

360×4802 D．向心加速度之比约为

360×480 课堂练习2．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速度分别为v1和v2，那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)(

) 19A.

B.1819

C.181818

D.

19193．一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则(

) v3T4π2v3A．恒星的质量为 B．行星的质量为

2πGGT2vT2πvC．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的向心加速度为

2πT课堂小结

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