构建知识体系优秀教案说课稿

第十七章勾股定理

复习导学案

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 。

公式的变形：a2 = ， b2= =

；=

；=

；

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数a、b、c，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

二、例题讲解

知识要点1：利用勾股定理求第三边。

例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：

，

. 例2：在△ABC中，∠C=90°，AB=c (1)如果∠A=30°，求BC，AC；

(2)如果∠A=45°，求BC，AC；

练一练

1、(1)在Rt(2)在Rt(3)在Rt中，若中，若中，若，，，，，，，则，则，则

.

.

. （4）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=2，则AB=

，BC=

；

（5）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=2，则AC=

，BC=

；

1

2．（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(1,2)，则OP的长为

4、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，

求斜边上的高．

知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。

例2：在数轴上画出表示

知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。

例3：分别以下列两组数为一个三角形的边长：（1）5、12、13（2）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。

例4：已知，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别an21,b2n,cn21(n1)是a,b,c，求∠C的度数。

练一练

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（

）

A．12，15，17

B．9，16，25

C．5a，12a，13a（a>0）

D．2，3，4 2.

如图所示，在△ABC中，AC=10，BC=17，CD=8，AD=6，

（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积。

3．已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有__

___．

2 的点.

练一练：在数轴上作出表示的点．

3.如图，在四边形ABCD中，AB=20 cm，BC=15 cm，CD=7 cm，AD=24 cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．

考点四：应用勾股定理解决勾股树问题

例5、如图7所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的

三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，

则正方形A，B，C，D的面积的和为

练一练

1、如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的边长分别为7和13，则c的边长为

2、根据图形可知图形A的面积是 图形B的面积是

3、求阴影部分面积：

（1）

阴影部分是正方形；

（2）

阴影部分是长方形；

（3）

阴影部分是半圆．

4. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3

考点五：利用勾股定理列方程解决问题

例6、如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25千米，C、D为两个村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=15 千米，CB=10千米，现要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村到E的的距离相等，则E应建在距A多少千米处？

练一练

如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

知识要点6：构造直角三角形解决实际问题

例5：在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）

4

考点七：利用勾股定理解决折叠问题

1、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF=6.25cm，求AD的长。6和8，求b的面积。

2、如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求EC的长。

、

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，BC=6cm,AC=8cm,按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，求△ADC′的面积。

4、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长。

5

最短路径问题

如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

三、课后巩固练习

1、有四个三角形，分别满足下列条件：

①一个内角等于另两个内角之和；②三个角之比为３:４:５;③三边长分别为７、２４、２５④三边之比为5:12:13，其中直角三角形有（

）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、直角三角形一直角边为12 cm，斜边长为13 cm，则它的面积为

. 3、一条直角边长为l5 cm，另一条直角边为8cm，求第三边为

. 4、已知直角三角形的三边长分别为6、8、为

.

5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是

. 6、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行

cm．

6 ,则以为边的正方形的面积

7、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．

求：①AD的长；②ΔABC的面积．

8、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．

（1）求DC的长；（2）求AB的长；（3）求证：△ABC是直角三角形．

9、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，顶角∠BAC=120°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。（结果保留根号）

10、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，

求证：（1）

7 ；（2）．

11、在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于点D.试求△ABC的面积．

12、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 ．

13、如图所示是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标“弦图”，它由4个全等的直角三角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两

直角边的和等于

。

14、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则

S1+S2+S3+S4=

。

1

S1

S2

2

3

S3

S4

8