复习参考题教学设计第一课时

高三专题复习课—向量解题中的七个思维意识

一．考试要求：

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

二．知识梳理

1．向量的概念：

向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。

2．向量的基本运算

向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。

坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 )

a-b=(x1-x2,y1-y2)

(2) 平面向量的数量积

：

ab=abcos

设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2 （3）两个向量平行的充要条件

若

=(x1,y1), =(x2,y2)，则

∥

∥

⊥

=λ

x1y2-x2y1=0 ·

=0 3．两个非零向量垂直的充要条件是

设

=(x1,y1)，

=(x2,y2)，则

⊥

x1x2+y1y2=0 三．知识升华：向量解题中的七种意识

四．教学过程

（一）．典例分析

0例1：在菱形ABCD中，∠DAB=60,E和F分别是边CD和BC的中点，若

AC





AE





AF(λ、μ∈R)，则λ+μ=______．

意识提炼:一、“坐标”意识

二、“基底”意识

三、“共线”意识

解析：略

例2

在ABC中，AB=3，AC=5，若O为在ABC的外心，则AOBC___________ 意识提炼：四、“投影”意识

（投影定义）ababcos（其中为a与b的夹角）

数量积ab等于a与b在a上的投影bcos的乘积或b与a在b上的投影acos的乘积，即aba（bcos）=b（acos），其中为a与b的夹角。

B - 1 - A 图1 C

A解析：AOBCAO(ACAB)AOACAOAB

ODB图3（对BC进行拆分），即求AO在AC方向上的投影与AO在AB方向上的投影的差，取AC的中点D，由外接圆性质，OD⊥AC，所以ADC1AC，22212519AOACAC=，同理AOABAB=，所以AOBC8．

2222

例3

已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0,则|c|的最大值是 (

)



A．1 B．2 C．2 D．

意识提炼：五、“几何”意识

解析：由(ac)(bc)0知，向量(ac)(bc)，

故联想到直径上的圆周角．构造圆O，使向量(ac)

和(bc)的夹角恰为直径上的圆周角（如图）．

作GAa，GBb，使ab，任作向量GCc．

则

CAac，CBbc．

由ab得，AB为直径，故(ac)(bc)，且|AB|2．

当GC过圆心时，即GC为GM时，|c|最大，|c|max2．

2

2CBMcbOGaA

例4

O是锐角ABC的外心，|AB|16，|AC|102，AOxAByAC，32x25y25，则|AO|

．

A意识提炼：六、“点积或平方”意识

解析：因为三角形的外心是三条边中垂线的交点．

设D、E分别为AB、AC的中点（如图11）．

则

ODAB，OEAC．

DOECB

因为要求|AO|?故在等式AOxAByAC两边同时点积向量AO，

得

AOxABAOyACAO

x|AB||AD|y|AC||AE|

- 2 - 2

1212

x|AB|y|AC|

22

128x100y

4(32x25y)100

所以

|AO|10．

例5在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则ABAC＝______________．

意识提炼：七、“极化恒等式”意识

22a+bab221几何意义是：如图5，ab（a+b）（ab）=这个式子称为极化恒等式，422ABACADBD（数量积等于中线的平方减去另一边一半的平方），极化恒等式最初出现在高等数学中的泛函分析，其几何意义可以说数学含义非常明显，它将数量积与三角形法则紧密的联系起来。

解析：ABACAMMB=925=16

五．

归纳小结

向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。在向量解题中培养意识，灵活应用。

六．作业：

2222- 3 -